Hace $f'$ analítica implica $f$ ¿analítica?

Question

Si $f'$ se sabe que es analítica, ¿significa que $f$ ¿también es analítica?

He tratado de ampliar $f$ y luego sustituir la cola de la misma por la expansión de $f'$ pero los factoriales no suman. También intenté empezar con la expansión conocida de $f'$ Sin embargo, no estaba claro cómo pasar a $f$ (Todavía no tenía integración).

Si la afirmación no es cierta, ¿cómo se puede demostrar, por ejemplo, que $f(x)=-\log\cos(x)$ es analítica en cero utilizando el hecho de que su derivada $\tan(x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} 2^{2n}(2^{2n}-1) B_{2n}x^{2n-1}/(2n)!$ ¿es analítico en cero?

Answer 1

• Si $g(x):=f'(x)=\sum_n a_nx^n$ , entonces encuentra $b_n$ ( $n\ge 1$ ) tal que para $G(x):=\sum_n b_nx^n$ tenemos $G'=g$ .

Una pista: $(x^n)'=nx^{n-1}$ .

Calcula también el radio de convergencia.

• Si sabes que $h'=0\implies h=$ const., entonces se obtiene $b_0$ como $(f-G)'=g-g=0$

Answer 2

Desde $f'$ es analítico en $\mathbb{c}$ tiene una serie de potencias expansión digamos $f'(z)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n$ así que $\int f'(z)dz= \int\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n$ . Esto implica que $f(z)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\int a_n z^n =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n+1} z^{n+1}= \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n z^n$ que es anlítico.