Cómo encontrar el límite de una función en el infinito

Question

Un simple problema que me desconcierta es el siguiente:

qué es
$$ \lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{x^2-4}{-4x^2+x+2}}? $$

Gracias por toda la ayuda. Mañana tengo un examen y estoy repasando mucho material antiguo.

Answer 1

$\lim_{x\rightarrow∞}{\frac{x^2-4}{-4x^2+x+2}} = \lim_{x\rightarrow∞}{\frac{1-\frac{4}{x^2}}{-4+\frac1x+\frac{2}{x^2}}}=-\frac14$

Answer 2

Como los polinomios son del mismo grado, el límite es igual a la fracción de los coeficientes en $x^2$ es decir $-1/4$ .

(Esta es una regla sencilla, sin cálculos).

Answer 3

Como el grado del nominador y del denominador son iguales, por lo tanto en el infinito, el límite será el cociente de los coeficientes de los polinomios de mayor grado del nominador y del denominador, que en este ejemplo es $x^2$ Por lo tanto $\lim=\frac{-1}{4}$

Answer 4

Un profesor de matemáticas me dijo el siguiente atajo (¡muy simplificado!) re: lim x→∞

1. La respuesta son los coeficientes del mayor exponente (en este caso x^2) en el numerador o denominador. Respuesta: lim= -1/4 Otro ejemplo: lim x→∞ (6x^4+3x^3-2x^2+8x-3)/(5x^4+1) Respuesta: lim = 6/5

2. Esto funciona a menos que tengas un problema como: lim x→∞ (5x+5)/(2x^2) En este caso, tus coeficientes serían 0/2 porque no hay x^2 en el numerador. Por lo tanto, tienes lim = 0/2 = 0

3. También hay que tener cuidado con lo siguiente: Si tienes un problema como lim x→∞ (x^2)/(x+5) En este caso, tus coeficientes serían 1/0 ya que no hay x^2 en el denominador. Por tanto, lim = 1/0 = ∞

Espero que puedas entender cómo he escrito esto. ¡No sé cómo escribir código MathML!

Answer 5

Aunque todas las demás respuestas son correctas, ninguna parece abordar la intuición que hay detrás del método. Lo intentaré aquí.

Tomando el límite de $f(x)=\frac{x^2-4}{-4x^2+x+2}$ en $\infty$ significa aproximadamente aproximar el comportamiento de $f$ cuando $x$ es grande. Pero, cuando $x$ es grande, $-4x^2$ es muy grande, mucho mayor que $x$ ou $2$ . Así que $-4x^2+x+2$ puede aproximarse mediante $-4x^2$ (piensa que $x=10^6$ o incluso un número mayor). Y de manera similar, $x^2-4$ puede aproximarse mediante $x^2$ . Así que, moralmente, $f(x)$ está cerca de $\frac{x^2}{-4x^2}=\frac{-1}{4}$ cuando $x$ es grande. Por lo tanto, deberíamos esperar que $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-4}{-4x^2+x+2}=\frac{-1}{4} }$ .

Para demostrarlo, se trata de factorizar numerador y denominador por el "término más fuerte": tenemos

$$ \displaystyle{ f(x)=\frac{x^2(1-\frac{4}{x^2})}{-4x^2(1+-\frac{1}{4x}-\frac{1}{2x^2})} } $$

para que podamosl sacar el $x^2$ y aplicar las Leyes Límite para obtenerlas $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-4}{-4x^2+x+2}=\frac{-1}{4} }$

(moralmente $f(x)=\frac{x^2(\textrm{something close to }1)}{-4x^2(\textrm{something close to }1)}=\frac{-1}{4}(\textrm{something close to }1)$ ).

Es útil pensar así ya que se puede aplicar a muchas otras situaciones, por ejemplo el límite en $\infty$ de cualquier función racional, o límites de la forma $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\frac{a^x-b^x}{a^x+b^x}}$ ,..