Esto no es una respuesta a su pregunta. Se trata más bien de una versión "menos misteriosa" de la construcción Milnor-Stasheff de las clases Stiefel-Whitney, que no se refiere explícitamente a las operaciones Steenrod. (I piense en Lo aprendí de mi director de tesis cuando era un muchacho... fue hace tanto tiempo...)
Dejemos que $V\to X$ sea un haz vectorial real. Sea $S^\infty=\bigcup S^n$ la esfera de dimensión infinita. Tomando el producto con $S^\infty$ da un haz vectorial $V\times S^\infty\to X\times S^\infty$ . Produzco un haz de vectores $V'\to X\times RP^\infty$ dividiendo por una acción del grupo cíclico de orden $2$ tanto en la base como en el espacio total:
- en la base $X\times S^\infty$ la involución es $(x,y)\mapsto (x,-y)$ ;
- en el espacio total $V\times S^\infty$ la involución es $(v,y)\mapsto (-v,-y)$ .
La clase Euler $e(V')$ de $V'$ es un elemento de grado $n$ en $H^*(X\times RP^\infty; Z/2) = H^*(X;Z/2)[t]$ . Se cumple la siguiente fórmula: $$ e(V') = t^n + w_1(V)t^{n-1}+\cdots + w_n(V).$$ Así que si tienes una clase Euler, entonces puedes usar esto como el definición de las clases de Stiefel-Whitney. La clase de Euler mod-2 es bastante fácil de definir desde el punto de vista de Milnor-Stasheff: $e(V')$ es el retroceso a lo largo del $0$ sección de la clase de orientación en la cohomología del espacio Thom de $V'$ .
Es fácil comprobar los axiomas de este tipo. Es ciertamente natural, ya que $V\mapsto V'$ y $e$ son funcionales. La suma de Whitney se deduce de $(V\oplus W)'\approx V'\oplus W'$ y la fórmula de la suma de Whitney para la clase de Euler. Si $R\to *$ es el haz trivial, entonces $R'\to RP^\infty$ es la línea canónica, por lo que $e(R')=t$ y así $w_0(R)=1$ y $w_1(R)=0$ . Puedes usar esto para demostrar que $w_0(V)\in H^0X$ es igual a $1$ para cualquier haz de la mano sobre $X$ , tirando hacia atrás $V$ sobre cualquier punto de $X$ (donde se convierte en trivial). Si $L\to RP^\infty$ es la línea canónica, entonces $L'\to RP^\infty\times RP^\infty$ es $L_1\otimes L_2$ el producto tensorial de los haces de líneas canónicos sobre cada factor. Así que $e(L')=s+t= 1\cdot t^1 + s\cdot t^0$ , dando $w_0(L)=1$ y $w_1(L)=s$ (donde $s\in H^1RP^\infty$ es el generador).
Añadido más tarde. Escribí lo anterior mientras estaba un poco febril :). No se me ocurrió al describirlo que es una forma bastante estándar de construir clases características; la variante que da clases de Chern es probablemente más familiar.
También dije que es una "versión" de la construcción de la operación Steenrod de las clases de SW, así que permítanme tratar de explicar eso. Esbozaré una prueba "directa" de que la definición de la operación Steenrod de las clases SW es equivalente a la que he dado anteriormente (es decir, sin hacer referencia a los axiomas que M-S da para las clases SW).
Las operaciones de Steenrod provienen de una construcción de "cuadrado extendido" en las clases de cohomología (véase mi respuesta en ¿Por qué se piensa en las escuadras y potencias de Steenrod? ). Si $X$ es un espacio, sea $DX=(X\times X \times S^\infty)/(Z/2)$ donde divido por la involución $(x_1,x_2,y)\to (x_2,x_1,-y)$ . El "cuadrado ampliado" es una función $$P: H^n(X) \to H^{2n}(DX).$$ La cohomología es con coeficientes mod-2. Si se resticta a lo largo de la incrustación "diagonal" $d: X\times RP^\infty \to DX$ se obtienen los cuadrados de Steenrod: $$d^*(P(a)) = t^{n}Sq^0(a) + t^{n-1}Sq^1(a) + \cdots + Sq^n(a).$$ Hay una versión relativa de esto: si $V\to X$ es un haz vectorial, también lo es $DV\to DX$ ; escriba $T(V)$ para el espacio Thom de $V$ y escribir $f: T(V) \to T(DV)$ para el mapa inducido por la inclusión diagonal. Si $u\in H^nT(V)$ es la clase de orientación, entonces $$f^*(P(u))= t^{n}Sq^0(u)+t^{n-1}Sq^1(u)+\cdots +Sq^n(u).$$ Según Milnor-Stasheff, $Sq^i(u)=u\,w_i(V)$ .
El hecho más claro es que $P(u)\in H^{2n}T(DV)$ tiene que ser la clase de orientación $u'$ de $DV\to DX$ ¡! ¡Así que mientras pueda describir la clase de orientación, no necesito saber sobre las opearciones de Steenrod! Así, $f^*(u')\in H^*TV[t]$ es el polinomio cuyos coeficientes son las clases de SW. Para obtener la fórmula que di originalmente, observe que $f^*(u')=u\, e(V')$ Esto se debe a que el pullback del haz $TV\to TX$ a lo largo de $d: X\to DX$ es el mismo que el paquete $V+V' \to X$ .
¿Por qué es $P(u)$ la clase de orientación de $DV$ ? La clase de orientación de un haz en cohomología ordinaria mod-2 es el único elemento que restringe a la clase fundamental de la esfera cuando restringes a cada fibra, por lo que sólo tienes que comprobar que $P(u)$ tiene esta propiedad. Y esto es bastante fácil (la operación $P$ es natural, y es fácil entender cómo $P$ funciona cuando se tiene un espacio discreto, o un haz sobre un espacio discreto).
