Si $\cos x = \frac{1}{\sqrt{5}}$ ¿Qué es? $\cos^{-1} x$ ?

Question

Dado que $\cos x = \frac{1}{\sqrt{5}}$ y $\tan x < 0$ ¿Cuál es el valor exacto de $\cos^{-1} x$ ?
Desde $\sin x = - \frac{2}{\sqrt{5}}$ podemos ver que $\tan x$ es de hecho $-2$ . Pero, ¿cómo obtenemos el valor (exacto) de $\cos^{-1} x$ ?

Answer 1

Desde $1/\sqrt5 < 1/2$ , $\cos \pi/3 = 1/2$ y como la función coseno es decreciente en $[0.\pi]$ deducimos que si $x>0$ entonces $x>\pi/3>1$ como el coseno es una función par, esto implica que si $x<0$ entonces $x<-1$ .

En definitiva, si $\cos x = 1/\sqrt5$ entonces $|x|>1$ y por lo tanto $\cos^{-1}x$ no existe.