Para demostrar que la integral de la función se encuentra entre la suma de Darboux inferior y la suma de Darboux superior

Question

M = inf(f(x): x es un miembro de [a,b]), M = sup(f(x): x es un miembro de [a,b])

supongamos que la función es Riemann integrable

Demuestra lo siguiente

$$ m(b-a)\leq {\int_{a}^{b}} f(x) \, \mathrm{d}x \leq M(b-a) $$

Por lo tanto, lo que he hecho es tomar L(P,F) lo cual resulta en m(b-a) y luego evalué U(P,f) lo cual resulta en M(b-a), por lo tanto ya que en la pregunta el intervalo está cerrado b > a esto significa que ya que el valor m es el inf que es el valor más pequeño y el valor M es el sup que es el valor más grande, puedo concluir que

$$ m(b-a)\leq M(b-a) $$

lo cual muestra que L(P,f) es menor o igual a U(P,f)

Esto es lo que he hecho hasta ahora, ahora lo que sé es que para la integral de Riemann inferior se toma como el sup (L(P,f) donde p es un miembro de una partición en [a,b]) por lo tanto este valor aumentará y para el opuesto inf(U(P,f)) este valor disminuirá y el punto en el que ambos valores son iguales se conoce como la integral de la función. Por lo tanto puedo entender que la integral existe entre las sumas superior e inferior una vez que las integrales son iguales pero no estoy seguro de cómo demostrarlo, ¿alguien puede ayudar?

Estaba considerando usar la suma de Riemann para demostrar que si el límite existe y se dice que la función es Riemann integrable en el intervalo cerrado [a,b] entonces el límite de la suma de Riemann = la integral de la función que se encuentra entre las sumas de Darboux superior e inferior.

¿Alguien puede decirme si estoy en lo correcto y, de ser así, estoy en el camino correcto para probar lo que se requiere?

Answer 1

Definitivamente estás en el camino correcto.

Haciendo esto de forma precisa matemáticamente, tenemos para cualquier partición $P = (x_0,x_1,\ldots, x_n)$ de $[a,b]$ y $\xi_j \in [x_{j-1},x_j]$ para todo $j \in \{1,2\ldots,n\}$,

$$m = \inf_{x \in [a,b]}f(x) \leqslant \inf_{x \in [x_{j-1},x_j]}f(x)\leqslant f(\xi_j) \leqslant \sup_{x \in [x_{j-1},x_j]}f(x) \leqslant \sup_{x \in [a,b]}f(x) = M$$

Multiplicando por $(x_j - x_{j-1})$ y sumando lleva a

$$\tag{*}m(b-a) \leqslant L(P,f) \leqslant S(P,f) \leqslant U(P,f) \leqslant M(b-a),$$ donde $S(P,f)$ es una suma de Riemann con puntos intermedios (arbitrarios) $\xi_j$.

Dada la hipótesis de que $f$ es integrable de Riemann, debe cumplirse con $\|P\| := \max_{1\leqslant j \leqslant n}(x_j - x_{j-1})$ que

$$\tag{**}\lim_{\|P\| \to 0}S(P,f) = \int_a^bf(x) \, dx$$

Juntas (*) y (**) implican que

$$m(b-a) \leqslant \int_a^b f(x) \, dx \leqslant M(b-a)$$

Más precisamente

Para cada $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que si $\|P\| < \delta$, entonces

$$\int_a^b f(x) \, dx - \epsilon < S(P,f) < \int_a^b f(x) \, dx+ \epsilon$$

Supongamos que $M(b-a) < \int_a^b f(x) \, dx$. Tomando $\epsilon = \frac{1}{2} \int_a^b f(x) \, dx +\frac{1}{2}M(b-a)$ tendríamos

$$S(P,f) > \int_a^b f(x) \, dx - \epsilon = \frac{1}{2} \int_a^b f(x) \, dx + \frac{1}{2}M(b-a) > M(b-a), $$

una contradicción.

Por un argumento similar podemos demostrar que $\int_a^b f(x) \, dx \geqslant m (b-a).$