Factoriales en el triángulo de Pascal

Question

Hola,

Le hice esta pregunta a Keith Conrad, y me sugirió que intentara publicar aquí. Uno de mis alumnos observó que los únicos casos de factoriales en el interior del triángulo de Pascal son $\binom{4}{2}=3!$ y $\binom{10}{3}=\binom{16}{2}=5!$ . He comprobado las primeras 500 filas, y tiene razón hasta ese punto.

Este es un caso especial del problema aparentemente no resuelto de encontrar soluciones no triviales a n!=a!b!c!... La particularidad en este caso es que necesito (a+b)!=a!b!c!, y parece un caso lo suficientemente especial como para haber sido tratado por alguien. Por desgracia, las búsquedas bibliográficas han sido infructuosas, porque todos los artículos sobre el triángulo de Pascal contienen la palabra "factorial" en alguna parte.

Mi mejor idea (que no consigo hacer funcionar) es demostrar que las potencias de 7 en la ecuación (a+b)!=a!b!c! no pueden hacerse coincidir a menos que ninguno de los lados sea múltiplo de 7. Entonces la búsqueda exhaustiva puede demostrar que las anteriores son las únicas soluciones no triviales.

Muchas gracias por cualquier idea que alguien pueda tener.

Answer 1

El último número del Journal of Number Theory (número de febrero de 2016) contiene un artículo de Nair y Shorey que ofrece una resolución condicional de este problema. Consideran el problema de encontrar soluciones a $$ n! = a_1! a_2! \cdots a_t!, $$ con $n>a_1 \ge a_2 \ge \ldots a_t>1$ y $t>1$ . Evidentemente, podemos suponer que $a_1 \le (n-2)$ ya que si $a_1 =n-1$ sólo estamos viendo $n=a_2!\cdots a_t!$ .

Entonces el Teorema 4 del citado trabajo muestra que asumiendo la explícita de Baker $abc$ -conjetura, las únicas soluciones a esta ecuación son $$ 7!3!3!2!=9!; 7!6!=10!; 14!5!2!=16!. $$

En este caso, el explícito $abc$ La conjetura de Baker afirma que si $a$ , $b$ y $c$ son enteros positivos coprimos con $a+b=c$ y $\omega$ denota el número de factores primos distintos de $abc$ entonces $$ c< \frac{6}{5} N \frac{(\log N)^{\omega}}{\omega!}, $$ con $$ N = \prod_{p|abc} p $$ que denota el radical de $abc$ .

Answer 2

He aquí una propuesta en la línea de lo que dijo Ben Weiss: Que $s(n)$ la "suavidad" de $n$ sea el mayor factor primo de $n$ . Entonces, como condición necesaria, $$s\left[\binom{n}{k}\right]! \le \binom{n}{k}.$$ De lo contrario, se puede decir que el coeficiente binomial no es lo suficientemente suave para que su tamaño sea un factorial. Este criterio elimina la consideración de grandes franjas del triángulo de Pascal. A cabeza de chorlito algo informada (ver más abajo) ejecutar con Sage hasta $n = 10^7$ encontró las soluciones $n=10$ y $50$ para $k=3$ a la desigualdad anterior, y los siguientes valores de $n$ para $k=2$ : $$4\quad 9\quad 16\quad 25\quad 81\quad 126\quad 225\quad 2401\quad 4375\quad 9801\quad 123201$$ No encontró ninguna solución con $\min(k,n-k) \ge 4$ .

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Esta es una parte de la idea que se puede hacer rigurosa. Como he dicho, es una generalización de la observación de Ben Weiss. Dejemos que $p$ sea el mayor primo no mayor que $n$ . Entonces $$p! \ge \lfloor n/2 \rfloor ! > \binom{n}{k},$$ donde la segunda desigualdad es válida para $n \ge 14$ la desigualdad combinada también es válida para $n \ge 5$ . Así, $\binom{n}{k}$ no es lo suficientemente suave como para que su tamaño sea un factorial si $n-p < k \le n/2$ . Así, cualquier binomio que sea un factorial debe estar cerca de los bordes del triángulo de Pascal, según los espacios máximos entre primos. Estos coeficientes de binomios que sobreviven son mucho más pequeños que los del centro, y la idea se puede repetir entonces con otros factores primos grandes de números cercanos a $n$ .

Además, para la pregunta original de un coeficiente binomial igual a un factorial, los valores binomiales para pequeños $k$ crecen mucho más lentamente que los factoriales, por lo que también se obtiene un límite superior severo en la densidad de tales coincidencias en una parte finita del triángulo de Pascal. Esto significa que sólo queda un puñado de entradas para comprobar, por ejemplo, con una búsqueda informática.

Answer 3

Esto es sólo un comienzo, pero tal vez sugiera a otros cómo proceder. Si $p$ es un número primo, entonces no hay ningún número entero $1 \le n < p$ y enteros $m$ con $${p\choose{n}} = m!$$ Esto se debe a que el LHS es divisible por $p$ pero es menor que $p!$ y el lado derecho no pueden ser ambos divisibles por $p$ y menos de $p!$

No estoy seguro de cómo generalizar esto, pero espero que ayude.

Answer 4

Para añadir a la observación de Greg Kuperberg, dejemos que n esté dado y que p sea un primo de manera que log(factorial p) > n, donde log es de base 2. ¡Entonces p! > (n elija k) para 0 <= k <= n, y así p! no puede dividir a (n elija k). Por lo tanto, si (n elija k) es un producto de factoriales, entonces ninguno de n, n-1, ..., n-k+1 debe ser primo, ni (para n suficientemente grande) dos veces primo, ni tres veces primo, y así sucesivamente. Una búsqueda computacional eficiente para comprobar la condición relajada de Greg [ (suave( n elegir k) )factorial <= ( n elegir k )] podría comprobar n, n-1, etc. para los divisores primos p tales que p log(p/e) > n y parar cuando encuentre (n-k) que tenga un divisor tan "grande". Alternativamente, defina un grado apropiado de suave y busque intervalos de tales enteros suaves. La entrada de Greg sugiere que no hay intervalos con 4 números pequeños apropiadamente suaves.

Gerhard "Ask Me About System Design" Paseman, 2010.05.21

Answer 5

Supongamos que $(a+b)!=a!b!c!$ con $a\le b$ . Según los experimentos ya mencionados, podemos suponer que $a+b$ es muy grande. Debido a $c!\le 2^{a+b}$ junto con la fórmula de Stirling, vemos que $c< < a+b$ . Por lo tanto, cada primo $p$ dividiendo el binomio $C_{a+b}^a$ es pequeño, comparado con $a+b$ y, en particular, es menor que $b$ . Esto implica que no hay ninguna potencia primera $p^\ell$ entre $b+1$ y $a+b$ . Debido al teorema de los números primos, $a$ debe ser un $O(\log b)$ .