¿Es un divisor en la clase de hiperplano necesariamente un hiperplano divisor?

Question

Deje $V$ ser un suave irreductible curva proyectiva a través de una algebraicamente cerrado campo de $k$, incrustado en algún espacio proyectivo $\mathbb{P}^n$, y deje $[H]$ ser inducida por hyperplane divisor de clase en $V$.

Pregunta. Supongamos $D$ es un eficaz divisor a $V$ tal que $D$$[H]$. Es $D$ necesariamente di cuenta de como la intersección divisor de algunos hyperplane?

Es bastante sencillo ver que la intersección divisor de cualquier hyperplane en posición general es, de hecho, en $[H]$ – este parece ser el punto detrás de equivalencia lineal.

Puedo probar esto para las curvas planas utilizando el teorema de Bézout: después de todo, si $H$ $D$ son linealmente equivalente, a continuación,$\deg H = \deg D$, y así si $H - D$ es el divisor de una función racional $h$, entonces debe ser posible encontrar lineal formas $F$ $G$ tal que $h = F / G$, y, a continuación, $H = V (F)$ mientras $D = V (G)$. Pero lo que sobre el caso donde $n > 2$?

Answer 1

Definición:
Si $\mathcal I=\mathcal I_V\subset \mathcal O_{\mathbb P^n}$ es el ideal de la gavilla de la definición de la curva de $V$, tenemos la secuencia exacta de las poleas en $\mathbb P^n$: $$0\to \mathcal I\to \mathcal O_{\mathbb P^n} \to \mathcal O_V \to 0$$ which gives after twisting by $\mathcal O_{\mathbb P^n}(1)$: $$ 0\to \mathcal I(1)\to \mathcal O_{\mathbb P^n} (1)\to \mathcal O_V (1) \to 0 $$ El tiempo asociado cohomology secuencia tiene como fragmento de $$o \to \Gamma (\mathbb P^n,\mathcal I(1))\to \Gamma (\mathbb P^n,\mathcal O_{\mathbb P^n} (1))\to \Gamma (V,\mathcal O_V (1)) \to H^1(\mathbb P^n,\mathcal I(1)) \to H^1(\mathbb P^n, \mathcal O_{\mathbb P^n} (1))=0.$$ El problema es si la segunda morfismos es surjective, o, equivalentemente, si $ H^1(\mathbb P^n,\mathcal I(1))=0$.
Estas propiedades equivalentes se llama lineal normalidad de $V$.
Ten en cuenta que lineal de la normalidad no es un invariante de $V$, contrario a la costumbre de la normalidad, pero depende de la incorporación de la $V$ a $\mathbb P^n$.

Útil Criterio:
Si $\Gamma (\mathbb P^n,\mathcal I(1))=0$, lo que significa que $V$ no está incluido en un hyperplane, entonces el lineal mapa de $0\to \Gamma (\mathbb P^n,\mathcal O_{\mathbb P^n} (1))\to \Gamma (V,\mathcal O_V (1)) $ es inyectiva y lineal de la normalidad, su surjectivity, es simplemente equivalente [desde $\dim \Gamma (\mathbb P^n,\mathcal O_{\mathbb P^n} (1))=n+1$ ] a la igualdad de $$\dim \Gamma (V,\mathcal O_V (1)) =n+1$$ Completa las intersecciones:
Es conocido (Hartshorne, Ejercicio III 5.5.(a), página 231) que completa las intersecciones son linealmente normal y esto confirma el cálculo de las curvas de $\mathbb P^2$, ya que se completa automáticamente las intersecciones.

No linealmente normal:
Por otro lado, el racional, el cuarto grado de la curva de $C\subset \mathbb P^3$ descrito en forma paramétrica por $(x^4:x^3y:xy^3:y^4)$ no es lineal normal: este es un caso particular de la maravillosa ejemplo dado por Yuchen Liu en su respuesta.
Por lo $C$ no es un completo intersección. Esto puede ser confirmado como sigue:
Un no-plano completo de la intersección de grado $4$ sólo puede ser el punto de intersección de dos quadrics (por el teorema de Bézout), pero luego de un suave intersección de dos quadrics tiene género $1$ y no puede ser el racional de la curva de $C$: basta con mirar a la fórmula para el género en Hartshorne del Ejercicio 7.2. (d), Capítulo I, página 54.
La más elemental forma directa y sin embargo al ver que $C$ no es lineal normal (y por lo tanto responde a su pregunta en el negativo) es la observación, la informática, la dimensión de Riemann-Roch, que $\dim \Gamma (C,\mathcal O_C (1)) =5\neq 3+1$, violando de esta manera la igualdad en el Criterio Útil .

Answer 2

Su pregunta es equivalente a la proposición de que el sistema lineal de hyperplane divisores de una curva suave $V$ es completa. Esto no es cierto para $n\geq 3$, como en el siguiente ejemplo:

Para cualquier $n\geq 3$, considere la posibilidad de $\sigma_n:\mathbb{P}^1\rightarrow \mathbb{P}^n$ definido por $[x,y]\mapsto[x^{n+1},x^ny,\cdots,\widehat{x^2y^{n-1}},xy^n,y^{n+1}]$, $\sigma_n$ es una incrustación de objetos (esto se puede verificar en el afín de coordenadas), y $\sigma_n(\mathbb{P}^1)$ es una proyección de grado $(n+1)$ racionales de la curva normal en $\mathbb{P}^{n+1}$$\mathbb{P}^n$. Por lo tanto, el sistema lineal de hyperplane divisores de $\sigma_n(\mathbb{P}^1)$ es un codimension $1$ subespacio de $|\mathcal{O}(n+1)|$, por lo que no es completa. Para encontrar un divisor $D$, vamos $p=\sigma_n([1,0])$, $q=\sigma_n([0,1])$, deje $D=(n-1)p+2q$, $D$ no es un hyperplane divisor de $\sigma_n(\mathbb{P}^1)$.