Existencia de $n \in \mathbb{Z}^+$ tal que $b^{3^{n}}+b^{-3^{n}} \equiv 5 \,(\bmod~p\,)$

Question

Dejemos que $p$ sea un número primo, $p \equiv 2\,(\bmod~3\,), x \in \mathbb{Z}, x \neq 0\,(\bmod~p\,)$ $$a_{n} \equiv x^{3^{n}}+x^{-3^{n}}\,(\bmod~p\,)$$ con $a_{0} \equiv 5\,(\bmod~p\,)$ . Demuestre que existe un número entero positivo $n$ tal que $$a_{n} \equiv 5\,(\bmod~p\,).$$

Buscando pistas. He intentado el pequeño teorema de Fermat sin éxito.

Answer 1

Por el teorema de Euler, porque $\gcd(3,p-1)=1$ y $\gcd(x,p)=1$ tenemos $$3^{\varphi(p-1)}\equiv1\pmod{p-1}\qquad\text{ and }\qquad x^{p-1}\equiv1\pmod{p}.$$ De ello se desprende que $a_{\varphi(p-1)}\equiv a_0\pmod{p}$ .