¿En qué condiciones es $1+p^k$ un poder de $2$ ?

Question

Así que estoy tratando de encontrar condiciones en $p$ y $k$ bajo el cual $1+p^k$ es una potencia de $2$ es decir, $$1+p^k=2^\ell.$$

Anotemos primero algunos hechos.

• Obviamente $\ell \geq 2.$
• Si $p\equiv 1 \pmod 4,$ entonces $p^k\equiv 1 \pmod 4$ .
• Si $p\equiv 3 \pmod 4,$ entonces $p^k\equiv 1 \pmod 4$ cuando $k$ es par y $p^k\equiv 3 \pmod 4$ cuando $k$ es impar.

Si escribo esto como $$1=2^\ell -p^k$$ y mira este módulo $4$ , obtenemos que $$1\equiv -p^k \pmod 4.$$ Por lo tanto, esto es obviamente posible sólo cuando $p\equiv 3 \pmod 4$ y $k$ es impar.

Resulta que lo contrario no es cierto en todos esos casos, y no sé cómo conseguir la condición iff. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Hay un argumento elemental que demuestra que no hay soluciones para $k \gt 1$ sin invocar Teorema de Mihăilescu (antes conjetura de Catalán).

Supongamos que $k$ es impar, entonces $p+1 \mid p^k+1$ . Por lo tanto, $p+1$ es también una potencia de $2$ , toma $p+1=2^m$ . Entonces, $$ p \equiv -1 \pmod {2^m} $$ Ahora, $$ \begin{align} \frac{p^k+1}{p+1} & = \sum_{i=0}^{k-1} (-p)^i \\ & \equiv \sum_{i=0}^{k-1} 1^i \pmod {2^m} \\ & \equiv k \pmod {2^m} \end{align}$$ Desde $k$ es impar, $\frac{p^k+1}{p+1}$ es también impar, que es un poder de $2$ sólo cuando es igual a $1$ . Esto obliga a $k$ para igualar $1$ y los únicos primos de este tipo son Primas de Mersenne .

El caso de $k$ El hecho de ser par ya está demostrado en la pregunta, por lo que se han agotado todas las posibilidades. (Obsérvese que los argumentos anteriores también sirven para todos los impar $n \gt 1$ no sólo los primos. El caso de los pares $n$ es trivial).

Answer 2

Por Teorema de Mihăilescu no hay soluciones con $k\ge 2$ . Para $k=1$ obtenemos que $p=2^\ell-1$ . Tales primos $p$ se conocen como Primas de Mersenne y son importantes porque la rapidez pruebas de primalidad existen para números de la forma $2^\ell-1$ . De hecho, los mayores números primos conocidos son los primos de Mersenne.

Una condición necesaria (pero no suficiente) para $2^\ell-1$ ser primo es para $\ell$ sea primo, ya que para todo $d\mid \ell$ tenemos $2^d-1\mid 2^\ell-1$ .