La planitud en la geometría algebraica frente a la fibración en la topología

Question

Actualmente estoy tratando de entender la planitud en la geometría algebraica. En particular, estoy tratando de relacionar la noción de planitud en geometría algebraica con la noción de fibración en topología algebraica, porque formalmente parecen bastante similares. Supongo que las respuestas a mis preguntas son "bien conocidas", pero me cuesta encontrar algo decente en la literatura. Cualquier ayuda/referencia será muy útil.

El montaje es el siguiente: Dejemos que $E,B$ sean variedades algebraicas complejas proyectivas lisas, y sea $\pi:E \to B$ sea un mapa plano suryente tal que las fibras $E_b:=\pi^{-1}(b), b \in B$ son variedades algebraicas complejas lisas proyectivas.

Soy consciente de que cada fibra tiene el mismo polinomio de Hilbert, por lo que cohomológicamente son bastante similares. Pero cada fibra puede ser ciertamente no isomorfa como variedades algebraicas (por ejemplo, espacios de moduli). Sin embargo:

1. Utilizando métodos de tipo GAGA, podemos considerar $E$ y $B$ como colectores complejos. ¿Es cierto que $(\pi,E,B)$ ¿es un fibrado? Es decir, ¿satisface la propiedad de elevación de homotopía con respecto a cualquier espacio topológico?

2. De nuevo teniendo en cuenta $E,B$ y cada fibra $E_b$ como una variedad compleja, ¿es cierto que cada fibra $E_b$ son homotópicos entre sí? ¿Y qué hay de homeomórfico/difeomórfico?

Gracias,

Dan

Answer 1

Un mapa plano sobreyectivo (igual a fielmente plano) con fibras suaves es de hecho un morfismo suave, y por lo tanto induce una inmersión en las variedades subyacentes obtenidas al pasar a puntos complejos. Como las fibras son proyectivas, es además propio (en el sentido de la geometría algebraica) [véase la nota añadida al final; esto no es una deducción lógica de la condición dada sobre las fibras, pero sin embargo parece ser una reinterpretación razonable de esa condición], y por tanto propio (en el sentido de la topología). Un teorema de Ehresmann afirma que cualquier inmersión propia de las variedades lisas es un haz de fibras. En particular, se trata de una fibración en el sentido de la teoría de la homotopía, y las fibras son difeomorfas (por tanto, también homeomorfas, homotópicas, ... ).

Nota: Su pregunta específica es realmente sobre morfismos suaves (son morfismos planos con fibras lisas, aunque también hay otras definiciones, que son equivalentes bajo hipótesis suaves sobre los esquemas involucrados, y en particular, son equivalentes para mapas de variedades sobre un campo). Un aspecto de la noción de mapa plano es que permite considerar casos en los que las fibras sobre ciertos puntos degeneran, pero siguen variando continuamente (en cierto sentido). Puede ser una característica especial de la geometría algebraica (y de las teorías estrechamente relacionadas, como la geometría analítica compleja) que se pueda tener una noción tan razonable, una característica relacionada con el hecho de que se pueda trabajar de manera razonable con espacios singulares en la geometría algebraica, porque las singularidades son muy suaves en comparación con lo que puede ocurrir en (digamos) la topología diferencial.

[Añadido: debo añadir que me he tomado una ligera libertad con la pregunta, en el sentido de que he interpretado la condición de que las fibras sean proyectivas más fuerte de lo que está literalmente justificado, en la medida en que la he sustituido por la condición de que el mapa sea propio. Como está implícito en el comentario de Chris Schommer-Pries más abajo, podemos encontrar proyecciones suaves no adecuadas cuyas fibras son variedades proyectivas: por ejemplo, si, como en su ejemplo, consideramos el recubrimiento de $\mathbb P^1$ por dos copias de $\mathbb A^1$ de forma habitual, entonces las fibras están formadas por uno o dos puntos (un punto para $0$ y el punto en $\infty$ dos puntos para todos los demás), y cualquier conjunto finito de puntos es ciertamente una variedad proyectiva.

No obstante, mi interpretación de la pregunta parece haber sido útil; esperemos que, con la adición de esta observación, no sea demasiado engañosa].