La abrumadora preferencia para trabajar con $k$-covector campos ("formas diferenciales") se deriva a partir de algunos hechos básicos:
En primer lugar, usted puede saber de $\nabla$ de cálculo vectorial. Se relaciona con el exterior derivado de $d$ en el sentido de que usted puede hacer $\nabla \wedge$ en un covector campo y es equivalente a $d$. $\nabla$ transforma a sí mismo como un covector hace, y se lleva 1-covectors 2-covectors, $k$-covectors $k+1$-covectors (y estos son todos los campos, por supuesto). Así que hay una muy conveniente elemento de cierre de la operación.
Segundo, la integración en un colector, naturalmente, implica la tangente $k$-vector con el colector. Esto es algo tradicional diferencial de las formas de notación tiende a pasar por alto. Cuando usted ve, por ejemplo, algo como esto:
$$\int f \, \mathrm dx^1 \wedge \mathrm dx^2$$
Es realmente significa esto:
$$\int f \, (\mathrm dx^1 \wedge \mathrm dx^2)(e_1 \wedge e_2) \, dx^1 \, dx^2$$
Por esta razón, la base covectors $\mathrm dx^i$ no debe ser confundido con el de los diferenciales de $dx^i$. Además, usamos $e_1 \wedge e_2$ aquí, y no $e_2 \wedge e_1$, refleja una elección implícita de la orientación, que generalmente es elegido por la convención de la clasificación de la base, pero esto no siempre tiene que ser el caso. La tangente $k$-vector, y especialmente su orientación, necesariamente debe ser considerado en estas integrales.
Entonces, ¿por qué hace esto de ganar $k$-covector-campos preferido? Debido a la acción de estos campos en los colectores' tangente $k$-vectores es inherentemente nonmetrical. Así, el diferencial de formularios le permite hacer un montón de cálculos sin la imposición de una métrica.
Este punto, sin embargo, es un poco confuso cuando se introduce la estrella de Hodge operador y en el interior de los diferenciales, para que estos son métricos. A continuación, obtener un gran problema con el diferencial de formas: trabajando exclusivamente con $k$-covector campos, y suprimir toda referencia a la $k$-campos vectoriales, el tratamiento cuando nos hacen tener una métrica es muy jamón de mano. Sí, usted puede hacer todo con cuñas, exterior derivados, y Hodge estrellas. Pero tiene mucho más sentido utilizar el correspondiente grado-la reducción de las operaciones y derivados en su lugar. Geométricos de cálculo hace esto, pero vamos a cumplirse en un momento.
Sobre el pushforward vs retirada, debo confesar una falta de comprensión. No veo por qué íbamos a querer tirar covectors de regresar de un destino colector mientras insistía en que debemos impulsar a los vectores adelante. Estoy muy familiarizado con las matemáticas: que en virtud de un suave mapa, el adjunto Jacobiana transforma covectors destino de la cotangente espacio a la original, y la inversa de la Jacobiana hace lo mismo para los vectores. Tal vez tenga que ver con la definición de la pushforward como la inversa de esta matriz inversa.
Ahora bien, ¿todas estas observaciones ponen juntos significa que $k$-campos vectoriales son inherentemente desfavorecidos, o menos rico, de $k$-covector campos? Yo diría que no. He mencionado geométricas del cálculo anterior: es el originador de la $\nabla \wedge$ notación que he usado anteriormente, y se encarga de $k$-campos vectoriales bien. Geométricos de cálculo es el cálculo que va con el álgebra de clifford, y usted puede encontrar que es iluminadora. Muchos de los teoremas y resultados de formas diferenciales traducir geométricos de cálculo y $k$-campos vectoriales. Stokes teorema? Se utiliza ampliamente. de Rham cohomology? La mayoría de los resultados se aplican.
Mi punto anterior acerca de formas diferenciales integrales utilizando la tangente $k$-vectores implícitamente? Que viene de cálculo geométrico, también, donde la tangente $k$-vector no es digerida "trivial" y usted tiene que mirar a todos los métricos modos en los que puede interactuar con el campo de vectores está integrando.
Un grado bajar el derivado es natural utilizar con $k$-campos vectoriales. En geometría cálculo, esto se escribe como $\nabla \cdot$. Se puede ver que en las sucesivas cadenas de $\nabla \cdot$ continuamente reducir el grado de un campo, así como los sucesivos exterior derivados de levantarlo.
Mi último punto es que, cuando se hacen tienen una métrica, es bastante absurdas para tratar todo como una forma diferenciada en lugar de utilizar $k$-campos vectoriales cuando sea apropiado. Siento que la tendencia a hacer esto en la física de los divorcios de los estudiantes a partir de un montón de cálculo vectorial que habían aprendido, innecesariamente. No puedo hablar por los cursos de matemáticas, pero me imagino que algunos de los que la crítica se aplica, también.
Ahora, hay algunas propiedades de covector campos y exterior de los derivados que son más bonitas que las de trabajar con campos vectoriales. Por ejemplo, en un mapa de $f(x) = x'$ con adjoint Jacobiana $\overline f$, es cierto que $\overline f(\nabla '\wedge A') = \nabla \wedge$ para algunos covector campo $A$. Eso es muy cómodo resultado, y no hay ninguna consecuencia agradable de identidad para campos vectoriales.
