Generalización de la noción de vecinos de Farey a los números algebraicos

Question

" La belleza de las raíces "trata de los gráficos de las raíces de los polinomios, concretamente de los que tienen un grado menor que un número determinado y una altura menor que otro número determinado. Como puedes ver, estos gráficos son realmente bonitos:

(fuente)

Si se mira el interior y el exterior de ese anillo brillante, se pueden ver algunos patrones fractales muy nítidos. Pero hoy, no me interesan esos; me interesan esos agujeros.

Si miras las raíces de la unidad (y algunos otros lugares, presumiblemente las raíces de otros polinomios simples), verás que cerca de cada una, los números algebraicos son especialmente escasos. Como describe la página, para cualquier número algebraico que sea particularmente "simple", sus alrededores están relativamente vacíos de otros números algebraicos, y cuanto más "simple" es el número algebraico, más tienden a alejarse sus compañeros números algebraicos. (Me imagino que cada número algebraico tiene un "círculo de vacío" que lo rodea, pero para todos, excepto los más simples, este círculo es diminuto).

Conozco otro conjunto que tiene esta propiedad, y es el conjunto de los números racionales. Es un teorema que dado dos números racionales totalmente reducidos $a/$ b y $c/d$ lo más cercano que pueden estar es $1/bd$ así, si un número racional es "simple" en el sentido de tener un denominador pequeño, otros números racionales tenderán a estar muy lejos de él.

Números racionales $a/b$ y $c/d$ que difieren exactamente en $1/bd$ se llaman vecinos de Farey; si dos números racionales son vecinos de Farey, entonces tienen exactamente un vecino de Farey en común que se encuentra entre ellos, $(a+c)/(b+d)$ . Para más información, consulte Secuencias de Farey en Wikipedia .

Así pues, los números algebraicos que son "simples" nunca están cerca unos de otros. Los números racionales presentan el mismo fenómeno; aquí, "simple" se refiere al denominador, y se puede determinar exactamente cuál es la distancia mínima (1 sobre el producto de los denominadores). ¿Es posible extender la noción de denominadores y vecinos de Farey a los números algebraicos en general, explicando así los "agujeros" de la imagen?

Answer 1

Permítanme hacer una observación bastante burda sobre el caso más fácil de los anillos, a saber, el anillo alrededor del cero. O mejor aún, el que rodea al infinito.

John Baez menciona que la imagen anterior se trata de polinomios enteros de altura 1 con grado inferior a 25. Donde por la altura de un polinomio me refiero al valor absoluto máximo de los coeficientes.

El fenómeno más simple que vemos en la imagen expresa la relación entre la altura y la medida de Mahler.

La medida de Mahler de un polinomio es el máximo de las raíces que están fuera del círculo unitario. Y existe un límite elemental $M(f) \leq H(f)\sqrt{d+1}$ donde H es la altura del polinomio f y M la medida de Mahler y d el grado.

En la imagen H es siempre 1, por lo que no puede haber raíces más allá de 24. Así que lo más crudo que estamos viendo es que no hay raíces de norma más que 5.

Sustitución de $x$ por $\frac{1}{x}$ vemos que por la misma razón no puede haber una raíz con norma menor que 1/5 tampoco. Así que vemos un anillo de raíces, todas con módulo entre 5 y 1/5.

Supongo que se pueden explicar los otros anillos de forma similar modificando un poco el polinomio. Por ejemplo el anillo alrededor de 1. Si f(x) tiene una raíz r que es cercana a uno, entonces g(x) = f(x+1) tiene una raíz r-1 muy cercana a cero. Así que $|r-1| \leq \frac{1}{5}\frac{1}{H(g)}$ La altura de f era 1 pero la altura subió debido a la sustitución, por lo que H(g) es grande y vemos un hueco más pequeño alrededor de 1.

En cuanto a la medida de Mahler, las cosas también se ponen interesantes cuando se piden polinomios con una medida de Mahler pequeña, apenas superior a 1. La conjetura de Lehmer dice que la medida de Mahler mínima se alcanza en un polinomio muy específico, ¡que resulta ser el polinomio de Alexander del nudo pretzel (-2,3,7)!

Answer 2

Una generalización natural de las secuencias de Farey fue definida por Brown y Mahler en 1971 ( http://oldweb.cecm.sfu.ca/Mahler/174.pdf ) de la siguiente manera:

El $m$ -secuencia de Farey de orden $n$ es la secuencia de todas las raíces reales del conjunto de polinomios integrales $$ a_m x^m + a_{m-1} x^{m-1} + \cdots + a_0, $$ donde $|a_i|\leq n$ .

Hicieron algunas conjeturas sobre las propiedades de esta secuencia, pero no demostraron ningún resultado. Sin embargo, tu sugerencia parece eminentemente plausible, y esta definición podría darte un punto de partida para formalizarla.

Answer 3

Dejemos que $f$ y $g$ sean polinomios de grado máximo $n$ con coeficientes enteros de valor absoluto a lo sumo M, y sin ceros comunes. Entonces la resultante de $f$ y $g$ (que Wadim señaló) es al menos 1 en valor absoluto. Por otro lado, la resultante es $f_0^rg_0^s\prod(a-b)$ , donde $f_0$ y $g_0$ son los coeficientes principales de $f$ y $g$ respectivamente, y $r$ y $s$ son los grados de $g$ y $f$ respectivamente, y $a$ y $b$ corren a través de las raíces de $f$ y $g$ respectivamente. Ahora se puede encontrar algún límite superior trivial para $|a|$ Por ejemplo, creo que $|a|\lt M+1$ funciona, así que $|a-b|\lt2M+2$ Así que $|a-b|\gt f_0^{-r}g_0^{-s}(2M+2)^{-(n^2-1)}$ .

Esto está probablemente lejos de ser lo mejor posible, pero se reduce a $1/bd$ cuando $n=1$ .

Answer 4

Inversión con respecto a un círculo de radio $\sqrt 2$ centrado en $i$ intercambia el círculo unitario y los números reales (unión infinita). Se puede aplicar esta inversión al conjunto de raíces de un polinomio palindrómico (palindrómico: $\xi$ y $1/\xi$ son raíces simultáneas) obteniendo la raíces de otro polinomio palindrómico. Esta transformación produce una involución sobre el conjunto de polinomios palindrómicos con coeficientes racionales (y raíces en $\mathbb C^*\setminus\lbrace i,-i\rbrace$ ) que intercambia el papel del círculo unitario y los números reales. Se trata, pues, de una especie de explicación geométrica del fenómeno.