Ejemplos canónicos de estructuras algebraicas

Question

Enumere algunos ejemplos de estructuras algebraicas comunes. Estaba pensando en respuestas de la siguiente forma.

"Cuando leo sobre [insertar estructura aquí], pienso inmediatamente en [ejemplo]".

O tal vez piense en un pequeño número de ejemplos. Por ejemplo, cuando alguien dice "grupo", quizá piense inmediatamente en un ejemplo de grupo abeliano y otro de grupo no abeliano. Tal vez tengas una lista de ejemplos con los que pruebas nuevos teoremas.

Soy analista de formación. Cuando leo álgebra, puedo seguir la lógica línea por línea, pero no tengo el repertorio de ejemplos en mi cabeza que tengo para el análisis y, por tanto, me resulta difícil imaginar algo.

Answer 1

El conjunto de octoniones no nulos es la canónica Bucle de Moufang .

Answer 2

Mencionaré algunos no ejemplos más útiles:

Un semigrupo no monoide: $({\mathbb Z^+},+)$ .

Un monoide no grupal: $({\mathbb N}, +)$ , $({\mathbb Z},\cdot)$ .

Un dominio no integral: ${\mathbb Z}_6$ .

Un anillo noetheriano no artiniano: los enteros ${\mathbb Z}$ el anillo de polinomios de Laurent sobre un campo $K[x,x^{-1}]$ .

Un anillo semisimple no unitario: las matrices infinitas de filas y columnas sobre un campo ${\mathbb M}_{\infty}(K)$ .

Un álgebra simple no simétrica: El álgebra de Weyl $K[X,Y]/(XY-YX-1)$ .

Un anillo indecomponible no simple: $K[x,x^{-1}]$ .

Answer 3

Yo no soy algebrista, pero esto es interesante. Algunas cosas que sí sé:

Leer ------------------------------- Piensa rápidamente en

campo algebraicamente cerrado --------- $\mathbb C$

grupo abeliano ---------------------- $(\mathbb R;+)$

grupo no abeliano ----------------- $(\operatorname{SO}(n,\mathbb R);\times)$ ; ( $n>2$ )

grupo simple ----------------------- $(A_n; \circ)$ ; ( $n\ge5$ )

Answer 4

Más del ámbito Lie-algebraico:

simple Lie algebra: of course, the ubiquitous sl(2) 
solvable Lie algebra: < x,y | \[x,y\]=x >                   
nilpotent Lie algebra: < x,y,z | \[x,y\]=z, \[x,z\]=\[y,z\]=0 >
simple Lie algebra in characteristic p: < e\_i, i\\in Z/pZ | \[e\_i,e\_j\]=(j-i)e\_{i+j} > (Witt algebra)
semisimple Lie algebra in characteristic p: sl(2)\\otimes K\[t\]/(t^p) + Kd/dt
Kac-Moody algebra: sl(2)\\otimes C\[t,t^{-1}\] + Ctd/dt + Cz 
    associative commutative algebra: K\[t\]/(t^n)
    algebraic group: SL\_2(K)
    an algebraic object given by generators and relations: the corresponding 2-generated free object 
(e.g., 2-generated free group, 2-generated free Lie algebra, etc.)

Answer 5

Dominio euclidiano: Z[i] (enteros gaussianos) Dominio ideal principal: anillo de enteros en Q( \sqrt {-19}) Dominios de factorización únicos: Z[x], C[x,y] Campo finito: F_4=F_2[t]/(t^2+t+1)