Ejemplos canónicos de estructuras algebraicas

Question

Enumere algunos ejemplos de estructuras algebraicas comunes. Estaba pensando en respuestas de la siguiente forma.

"Cuando leo sobre [insertar estructura aquí], pienso inmediatamente en [ejemplo]".

O tal vez piense en un pequeño número de ejemplos. Por ejemplo, cuando alguien dice "grupo", quizá piense inmediatamente en un ejemplo de grupo abeliano y otro de grupo no abeliano. Tal vez tengas una lista de ejemplos con los que pruebas nuevos teoremas.

Soy analista de formación. Cuando leo álgebra, puedo seguir la lógica línea por línea, pero no tengo el repertorio de ejemplos en mi cabeza que tengo para el análisis y, por tanto, me resulta difícil imaginar algo.

Answer 1

Muchas respuestas buenas. He pensado en añadir una lista de no-ejemplos, ya que también son bastante útiles. (Estos son todos los no-ejemplos estándar, nada de fantasía).

Un anillo noetheriano con un solo ideal primo: (k[x1, x2, x3, ...]/(xi xj : 1 <= i,j), (x1,x2,...)) .

Un anillo no-Cohen-Macaulay: k[x, y]/(x2, xy) .

Una categoría que no tiene productos: la categoría de campos con homomorfismos de campo.

Un anillo que no es plano sobre otro anillo: A = k[x2, x3] y B = k[x] .

Dos anillos no nulos cuyo producto tensorial es cero: Z2 y Z3

Answer 2

Buena pregunta...

Grupo abeliano: Z o Z/nZ

Grupo Nonabeliano: Grupos diédricos o GL_n

Anillo conmutativo: Z o C[x]

Anillo no conmutativo: Anillos matriciales

Anillo de división: Cuaterniones de Hamilton

Campo: R o C

Álgebra de la mentira: sl_2

Answer 3

A menudo pienso en "ejemplos universales". Esto es útil porque entonces se puede demostrar algo en el caso general -al menos teóricamente- con sólo mirar estos ejemplos.

Semigrupo: $\mathbb{N}$ con $+$ o $*$

Grupo: Grupos de automorfismo de conjuntos ( $Sym(n)$ ) o de poliedros (por ejemplo $D(n)$ ).

Grupo cíclico virtual: Productos semidirectos $\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}/n$ .

Grupo abeliano: $\mathbb{Z}^n$

Grupo no generado infinitamente: $\mathbb{Q}$

Grupo divisible: $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$

Anillo: $\mathbb{Z}[x_1,...,x_n]$

Anillo graduado: Cohomología singular de un espacio.

Anillo sin unidad: $2\mathbb{Z}$ , $C_0(\mathbb{N})$

Anillo no conmutativo: Endomorfismos de grupos abelianos, como $M_n(\mathbb{Z})$ .

Anillo no etereo: $\mathbb{Z}[x_1,x_2,...]$ .

Anillo con divisores cero: $\mathbb{Z}[x]/x^2$

Dominio ideal principal que no es euclidiano: $\mathbb{Z}[(1+\sqrt{-19})/2]$

Anillo finito: $\mathbb{F}_2^n$ .

Anillo local: Campos, y el $p$ -adics $\mathbb{Z}_p$

No es suave $k$ -Álgebra: $k[x,y]/(x^2-y^3)$

Campo: $\mathbb{Q}, \mathbb{F}_p$

Extensión del campo: $\mathbb{Q}(i) / \mathbb{Q}, k(t)/k$

Módulo: secciones de un haz vectorial. Libre <=> trivial. Punto <=> espacio vectorial.

Módulo plano / no plano: $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Z}/2$ en $\mathbb{Z}$

Localmente libre, pero no módulo libre: $(2,1+\sqrt{-5})$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$

... quizás debería parar aquí, esta es una lista infinita.

Answer 4

Una versión más abstracta del "anillo matricial" es el anillo de endomorfismo de un módulo. Si tomas tu módulo como un módulo libre sobre R, entonces obtienes anillos matriciales, pero hay muchos otros ejemplos de módulos en los que vale la pena pensar. Este es mi ejemplo habitual cuando necesito un anillo que no sea necesariamente conmutativo.

En otra pregunta se pedían varios ejemplos de módulos. Además de los módulos libres, los siguientes módulos R más fáciles para un anillo R son los ideales I y los anillos cotizantes R/I. En particular, es útil recordar que los grupos abelianos son módulos Z.

El dominio ideal principal "geométrico" estándar es k[X], para k un campo. El UFD "geométrico" estándar es un anillo polinómico sobre un campo (o sobre un UFD). Así que si quieres un UFD que no sea un PID, tienes un montón de opciones, como k[X, Y] o Z[X]. Si quieres un dominio integral que no sea un UFD, puedes pensar en el anillo de coordenadas de una variedad afín genérica.

Answer 5

Módulo proyectivo: dado un haz vectorial sobre un espacio hausdorff compacto, el espacio vectorial de secciones continuas del haz es un módulo proyectivo sobre el álgebra de funciones continuas sobre el espacio.