Teoría probabilística de los nudos

Question

Tomemos una curva suave y cerrada en el plano. En cada autointersección, elige al azar uno de los dos trozos y levántalo justo fuera del plano. (Perturbar la curva para que no haya intersecciones triples.) Realmente no sé nada sobre la teoría de nudos, así que ni siquiera sé si estoy haciendo las preguntas correctas aquí, pero me pregunto: ¿Cuál es la probabilidad de que éste sea el nudo trivial? ¿Qué podemos decir sobre lo anudado que puede estar este nudo, y con qué probabilidades? (Mida la "anudabilidad" de la manera que quiera.) En términos más generales, ¿podemos decir algo sobre la probabilidad de los distintos valores posibles en los invariantes habituales que la gente utiliza para estudiar los nudos?

Sólo tengo una idea de cómo enfocar la primera pregunta, y aun así es sólo por fuerza bruta. Sólo estaba jugando con los casos más fáciles, y creo que con 0, 1 o 2 intersecciones, todos los nudos son triviales, y con 3 intersecciones el nudo es trivial con una probabilidad del 75%.

Un análisis general debería implicar, presumiblemente, el cálculo de la probabilidad de que podamos simplificar utilizando varios movimientos de Reidemeister, pero no sé cómo incorporar esto. Me imagino que un ordenador podría forzar los primeros casos con bastante facilidad (no me atrevo a aventurar una conjetura de orden de magnitud sobre si son los primeros cientos o los primeros millones)...

Answer 1

Una posible vía para llegar a un modelo de nudos aleatorios sería a través del grupo de trenzas. Cada nudo puede expresarse (de forma no única) como el cierre de una trenza. Así, por ejemplo, se podrían aplicar los generadores de trenzas de manera uniforme $n$ veces a través de $k$ mechones, cierra la trenza con tu cierre favorito, y luego haz esta pregunta con sentido. No creo que se pueda preguntar directamente por el $n \to \infty$ límite para el grupo de trenzas, porque no creo que exista una noción de medida uniforme para ese grupo. En realidad, tal vez publique esto como una pregunta separada, pero ¿es el grupo de trenzas susceptible? Apostaría que en este modelo, la probabilidad de tener el nudo disminuye muy rápidamente con $n$ y $k$ .

Para comprobar si se tiene el nudo, se conjetura que basta con comprobar el polinomio de Jones. Pero incluso esto es todavía duro en general, a menos que aunque resulta que tienes un ordenador cuántico. :)

(Edición: Gracias a Greg Kuperberg, más abajo, por la corrección).

Answer 2

El modelo que propones para los nudos aleatorios depende obviamente de la curva que dibujes inicialmente, por lo que no estoy seguro de que sea el modelo más natural a considerar. Ciertamente, la gente ha estudiado varias distribuciones de probabilidad de (varias clases de) nudos (o proyecciones de nudos). Uno de los problemas inmediatos es que incluso hacer simulaciones por ordenador es difícil, ya que determinar el tipo de nudo -o simplemente la falta de nudo- de un diagrama de nudo dado es muy poco trivial.

Un artículo que hace esto con los invariantes de Vassiliev (una cierta clase importante de invariantes de tipo polinómico de los nudos) aparece en el volumen " Anudar y enlazar al azar ", editado por Millett y Summers (véase el artículo de Deguchi y Tsurusaki). También pueden interesarle otros artículos de este volumen.

Que yo sepa, no hay ningún modelo realmente bueno de nudos aleatorios para el que la pregunta "¿cuál es la probabilidad de que el nudo sea trivial?" tenga una respuesta conocida, salvo que, a medida que el número de cruces tiende a infinito, esta probabilidad probablemente se acerque a 0 (como sabe cualquiera que se haya dejado unos auriculares de móvil en el bolsillo durante más de cinco minutos).

Answer 3

Gracias, APR por alertarme sobre este post y por hacer referencia a mis documentos.

Soy nuevo en MathOverflow y por eso aún no puedo comentar todos los posts anteriores, así que aquí hay un conglomerado de respuestas con algo de mal formato.

1. Al punto de Steve Flammia: Un problema que veo con la creación de un modelo para nudos aleatorios utilizando el grupo de trenzas es que la mayoría de las veces se obtiene un enlace aleatorio y no un nudo aleatorio (ver Ichihara y Yoshida .) Véase también una lista de cuatro artículos sobre paseos aleatorios en el grafo de Cayley del grupo de trenzas en la introducción a mi primer trabajo sobre nudos aleatorios en la página 2.

2. A la última observación de Alon Amit: Mis artículos sobre nudos aleatorios (el primero mencionado anteriormente y también aquí ) dan la probabilidad exacta de que un nudo aparezca en un modelo muy particular. Tal y como están planteados estos trabajos, no todos los nudos aparecen en este modelo, pero el modelo puede ampliarse fácilmente.

A su punto más general: Cantarella, Chapman y Mastin mirar todas las proyecciones de nudos de hasta 10 "cruces'' y calcular las probabilidades.

3. Por los comentarios de Andy Putnam, Scott Morrison y Sam Nead: Diapositivas en el sitio web de Nathan Dunfield dan algunas conjeturas realmente buenas basadas en datos experimentales.

Answer 4

Sospecho que responder a esta pregunta sería muy difícil. Una pregunta más razonable sería tratar de entender la distribución de los distintos invariantes numéricos de los nudos. No conozco ninguna referencia a mano, pero sé que he escuchado charlas sobre el tema.

Si quiere intentar hacer conjeturas sobre este tipo de cosas, le recomiendo encarecidamente el libro de Livingston tabla de invariantes de nudos que contiene una cantidad asombrosa de datos.

Answer 5

Deberías mirar el Atlas de nudos que contiene muchos invariantes de nudos tabulados, aunque a menudo no en forma tan conveniente como el sitio de Livingston.

En realidad, lo que quieres es descargar el paquete KnotTheory` (presuponiendo que tienes acceso a Mathematica), disponible en el Knot Atlas. Con un poco de maña, puedes realizar fácilmente experimentos del tipo que describes. Puede calcular muchos invariantes a partir de la presentación de un nudo.

Lo mejor es que te pongas a pensar en modelos "físicamente realistas" de nudos aleatorios, y luego intentes implementar dicho modelo utilizando una de las muchas notaciones de nudos que entiende el paquete KnotTheory`. Hay algunos buenos artículos escritos sobre este tema, e incluso algunos experimentos de la vida real con cuerdas en cajas que se agitan hacia arriba y hacia abajo :-)