Función de densidad de probabilidad del máximo muestral de una variable aleatoria

Question

Según mi libro, para una muestra aleatoria $(X_1, \ldots, X_n)$ de una distribución continua con f.d.p. $f(x)$ y c.d.f. $F(x)$ la f.d.p. del máximo de la muestra es $g(z)=nf(z)[F(z)]^{n-1}$ , donde $z=\mathrm{max}(x_1, \ldots,x_n)$ . El libro plantea la siguiente pregunta:

la variable aleatoria $X$ tiene p.d.f. $f(x)=12x^2 (1-x), 0x1$ .

Estoy asumiendo que puse esto en el $g$ de tal manera que $$ g(z)=n \{12z^2 (1-z)\} \left[\int_{-\infty}^z 12t^2 (1-t)dt\right]^{n-1} . $$

Sin embargo, no tengo ni idea de cómo seguir a partir de ahí para encontrar la probabilidad de que el máximo mayor sea 1/2.

Answer 1

Yo volvería a escribir: $g_Z(z)=n[F_X(z)]^{n-1}f_X(z)$ e intenta una breve recapitulación. Esto sucede porque: $$\begin{align} F_Z(z) &= P(\max\{X_i\}<z)=P(X_1<z,\dots,X_n<z) \\ &\overset{ind}{=}P(X_1<z)\cdots P(X_n<z)\overset{i.d.}{=}[P(X<z)]^n=[F_X(z)]^n\end{align}$$ Entonces: $$g_Z(z)=\frac{\text{d}[F_X(z)]^n}{\text{d}z}=n[F_X(z)]^{n-1}\frac{\text{d}F_X(z)}{\text{d}z}=n[F_X(z)]^{n-1}f_X(z),\quad 0\le z\le 1$$ Ahora:

• $F_X(z)=\int_0^z 12t^2(1-t)\text{d}t$ ;
• $F_Z(z)=[F_X(z)]^n$ ;
• probabilidad de que el máximo mayor sea 1/2: $P(Z\le1/2)=F_Z(1/2)$ .