Dejemos que $f,g$ función de integrales en $\left[a,b\right]$ , Prueba $(\int_{a}^{b}fg)^{2}\leq(\int_{a}^{b}f^{2})(\int_{a}^{b}g^{2})$

Question

Dejemos que $f,g$ función de integrales en $\left[a,b\right]$ , Prueba $\left(\int_{a}^{b}fg\right)^{2}\leq(\int_{a}^{b}f^{2})(\int_{a}^{b}g^{2})$

Intento esto:

Sabemos que

$0\leq(f-\lambda g)^{2}=f^{2}-2\lambda fg+g^{2}$ con $\lambda$ sur $\mathbb R$

Entonces:

$0\leq\int f^{2}-2\lambda\int_{a}^{b}fg+\lambda^{2}\int_{a}^{b}g^{2}$

En este paso estoy atascado, ¿puede alguien ayudarme?

Answer 1

Puedes terminar la prueba con el comentario de Oussama.

Tenemos un polinomio cuadrático $a\Lambda^2+b\Lambda+c$ para valores reales fijos $a=\int f^2$ , $\ b=-2\int fg$ , $\ c=\int g^2$ .

Si dicho polinomio es siempre mayor o igual que $0$ es decir, no tiene ninguna raíz real o a lo sumo una, y como tal, su discriminante $b^2-4ac$ debe ser $\le 0$ que sólo dará el resultado que hay que demostrar.