problema singular de Sturm-liouville

Question

Consideremos el problema singular de Sturm-liouville:

$$(1-x^2)y''-2xy'+\lambda y=((1-x^2)y')'+\lambda y=0, \quad y(0)=0, \lim_{x\to 1}y(x)<\infty $$

Demuestre que los valores propios de este problema son $\lambda_{n}=2n(2n+1)(2n+2)$ , $n=0,1,2,...$ y las correspondientes funciones propias son los polinomios de impar Legendre $P_{2n+1}(x)$

Estoy tratando de resolver este problema de Sturm-Liouville. Pero aún no he conseguido una solución. ¿Cómo puedo resolver este problema? Necesito ayuda o una forma de resolver este problema. Me gustaría saber una solución. Cualquier ayuda es apreciada

Answer 1

La ecuación diferencial de Legendre es singular en $x=\pm 1$ . Pero usted está trabajando en $[0,1)$ ; por lo que su problema es regular en $0$ y singular en $x=1$ . Su problema se plantea como $$ Lf=\lambda f, \; 0 \le x < 1, \\ f(0)=0, \lim_{x\rightarrow 1}f(x) \mbox{ is finite.} $$ La condición en $x=1$ sólo se satisface con los polinomios de Legendre $P_n$ que satisfacen $LP_n=n(n+1)P_n$ . Para todos los demás $\lambda$ , $f(x)$ no tiene límites cerca de $x=1$ . Los polinomios de Legendre de orden par no son $0$ en $x=0$ pero los polinomios de Legendre de orden impar sí desaparecen en $x=0$ . Por eso los valores propios son $\lambda_n=(2n+1)(2n+2)$ para $n=0,1,2,3,\cdots$ . No estoy seguro de cómo se te ocurrió $2n(2n+1)(2n+2)$ ; uno de nosotros se equivoca en eso.