Derivación de la derivada de $a^{t}$ de La Ecuación

Question

En cálculo, la ecuación se conoce como:

$$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Esta ecuación nos permite encontrar las derivadas de las funciones. Vamos a probarlo con la función exponencial: $f(x)=a^x$ donde $a \gt 1$ .

$$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h}$$ $$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{a^x a^h-a^x}{h}$$ $$f'(x)= a^x \lim\limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}$$

Como puede ver, tenemos que determinar $\lim\limits_{h \to 0} (\frac{a^h-1}{h})$ para encontrar la derivada. Llegados a este punto, nos preguntamos: ¿qué $a$ sea tal que el límite sea 1? La respuesta es $e$ y eso es el fin de todo.

Lo que quiero saber es si podemos evaluar ese límite. ¿Cómo podemos encontrar realmente $e$ ¿algo más que adivinar con ensayo y error?

Answer 1

Otra forma de evaluar el límite de interés es invocar la definición de $e^x$ expresado como

$$e^x=\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \tag 1$$

Utilizando $(1)$ podemos escribir

$$\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}=\lim_{h\to 0}\lim_{n\to \infty}\frac{\left(1+\frac{h\log a}{n}\right)^n-1}{h} \tag 2$$

A continuación, recordamos del Teorema del Valor Medio que existe un número $\xi$ , ( $0<\xi<h\log a/n$ para $a>1$ , $h\log a/n<\xi<0$ , para $0<a<1$ ), tal que

$$\left(1+\frac{h\log a}{n}\right)^n=1+h\,\log a+\frac{n(n-1)}{2n^2}(1+\xi)^{n-2} (h\log a)^2 \tag 3$$

Por lo tanto, el uso de $(3)$ sur $(2)$ revela

$$\begin{align} \lim_{h\to 0}\lim_{n\to \infty}\frac{\left(1+\frac{h\log a}{n}\right)^n-1}{h}&=\log a+\lim_{h\to 0}\lim_{n\to \infty}\frac{n(n-1)}{2n^2}(1+\xi)^{n-2} h\log^2 a\\\\ &=\log a \end{align}$$

¡como se iba a mostrar!