Derivación de la derivada de $a^{t}$ de La Ecuación

Question

En cálculo, la ecuación se conoce como:

$$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Esta ecuación nos permite encontrar las derivadas de las funciones. Vamos a probarlo con la función exponencial: $f(x)=a^x$ donde $a \gt 1$ .

$$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h}$$ $$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{a^x a^h-a^x}{h}$$ $$f'(x)= a^x \lim\limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}$$

Como puede ver, tenemos que determinar $\lim\limits_{h \to 0} (\frac{a^h-1}{h})$ para encontrar la derivada. Llegados a este punto, nos preguntamos: ¿qué $a$ sea tal que el límite sea 1? La respuesta es $e$ y eso es el fin de todo.

Lo que quiero saber es si podemos evaluar ese límite. ¿Cómo podemos encontrar realmente $e$ ¿algo más que adivinar con ensayo y error?

Answer 1

Tienes la expresión

$$a^x \lim\limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}.$$

Hacemos el cambio de variables $h=\log_a x$ (ver que $a>1$ ). Entonces $$ \lim\limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=\log a\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{\log x}=\log a\frac{1}{\lim_{x\to 1}\frac{\log x}{x-1}}. $$ Ahora, este límite es igual a $$ \lim_{x\to 1}\frac{\log x}{x-1}=\lim_{x\to 1}\log(x^{1/(x-1)}). $$ Haciendo el cambio $x=t+1$ llegamos a $$ \lim_{x\to 1}\frac{\log x}{x-1}=\lim_{t\to 0}\log(t+1)^{1/t}=1. $$

Answer 2

Una de las varias definiciones de $e$ es: $$e = \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x}.$$ Tomando el logaritmo natural de ambos lados e intercambiando el logaritmo y el límite (lo que está permitido por la definición de continuidad), $$1 = \ln\left(\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x}\right) = \lim_{x \to 0}\left( \ln (1 + x)^{1/x}\right) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln(1 + x)}$$

Dejemos que $y = a^h - 1$ . Entonces $h = \frac{\ln(y+1)}{\ln a}$ Así que $$\lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = \lim_{y \to 0} \frac{y \ln a}{\ln(y+1)} = \ln a \cdot \lim_{y \to 0} \frac{y}{\ln(y+1)} = \ln a.$$

Answer 3

Se puede utilizar la teoría del binomio para encontrar el resultado de la expansión de taylor de $$ \lim\limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}$$

si $a=k+1$

$(1+k)^h=1+C(h,1)k+C(h,2)k^2+C(h,3)k^3+.....$

$(1+k)^h=1+hk+\frac{h(h-1)}{2!}k^2+\frac{h(h-1)(h-2)}{3!}k^3+.....$

$$g(k)= \lim\limits_{h \to 0} \frac{(1+k)^{h}-1}{h}=\frac{hk+\frac{h(h-1)}{2!}k^2+\frac{h(h-1)(h-2)}{3!}k^3+.....}{h}=\lim\limits_{h \to 0} (k-\frac{k^2}{2}+\frac{k^3}{3}-\frac{k^4}{4}+....)+hU_1(k)+h^2U_2(k)+....$$

$$ \lim\limits_{h \to 0} \frac{(1+k)^{h}-1}{h}=k-\frac{k^2}{2}+\frac{k^3}{3}-\frac{k^4}{4}+....$$ $$ g(k)=k-\frac{k^2}{2}+\frac{k^3}{3}-\frac{k^4}{4}+....$$

$$ g(a-1)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}$$

$$ g(b-1)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{b^h-1}{h}$$

$$ g(ab-1)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{(ab)^h-1}{h}=\lim\limits_{h \to 0} \frac{(ab)^h-a^h+a^h-1}{h}=\lim\limits_{h \to 0} \frac{a^h(b^h-1)}{h}+\lim\limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=\lim\limits_{h \to 0} \frac{(b^h-1)}{h}+\lim\limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=g(b-1)+g(a-1)$$

Tenemos una relación para $g(x)$ función. $$ g(ab-1)=g(b-1)+g(a-1)$$

y si se pone $b=1/a$

$$ g(a^{-1}-1)=-g(a-1)$$

Es fácil mostrar $g(0)=0$

quieres encontrar $g(e)=1$ así

Primero intente encontrar $g(1)$ ( $ g(1)= \lim\limits_{h \to 0} \frac{2^h-1}{h}$

$$ g(1)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....$$ incluso si se calculan los primeros 4 términos estará cerca de $0.58$ (es aproximadamente 0,69)

$g(1)\approx 0.69$

$$ g(2.2-1)=g(1)+g(1)$$ $$ g(3)=g(1)+g(1)\approx 1.38$$ así podemos ver que $2<e<4$

$$g(1/2)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4.2}+\frac{1}{8.3}-\frac{1}{16.4}+....$$

$$g(1/2)\approx 0.4$$

Para utilizar $$ g(ab-1)=g(b-1)+g(a-1)$$ de nuevo $$ g(3.3/2.2 -1)=g(3/2-1)+g(3/2-1)$$ $$ g(9/4 -1)=g(3/2-1)+g(3/2-1)$$ $$ g(9/4 -1)=2g(1/2)$$

$$ g(5/4 )=2g(1/2) \approx 0.8$$

Significa $e>5/4+1=2.25$

Puedes probar más valores para acercarte al valor e.

Puede utilizar con tales técnicas para encontrar el rango de valor e

Answer 4

Aviso, $$a^h=1+\frac{h}{1!}(\log a)+\frac{h^2}{2!}(\log a)^2+\frac{h^3}{3!}(\log a)^3+\ldots$$ Ahora, tenemos $$\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}$$ $$=\lim_{h\to 0}\frac{\left(1+\frac{h}{1!}(\log a)+\frac{h^2}{2!}(\log a)^2+\frac{h^3}{3!}(\log a)^3+\ldots\right)-1}{h}$$ $$=\lim_{h\to 0}\frac{\left(\frac{h}{1!}(\log a)+\frac{h^2}{2!}(\log a)^2+\frac{h^3}{3!}(\log a)^3+\ldots\right)}{h}$$ $$=\lim_{h\to 0}\left(\frac{1}{1!}(\log a)+\frac{h}{2!}(\log a)^2+\frac{h^2}{3!}(\log a)^3+\ldots\right)$$ $$=\lim_{h\to 0}\left(\frac{1}{1!}(\log a)+0\right)=\log a$$

Ahora, el límite será $1$ si tenemos $$\log a=1$$$$ \N - a=e^1=e$$

Answer 5

Desde $f'(x)= a^x \lim\limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h} $ , $f'(x) =a^x f'(0) $ , ya que $f(0) = 1$ , así que $\lim\limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h} =\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} =f'(0) $ .

La solución "natural" es aquella en la que $f'(0) = 1$ , y las otras respuestas muestran una variedad de formas de concluir que el valor que hace esto es $a=e =\lim_{n \to \infty} (1+\frac1{n})^n =\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} $ .