¿Existe un dominio fundamental para $\Gamma(2)$ contenida en la siguiente franja

Question

Dejemos que $\Gamma(2)$ sea el subgrupo de $\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})$ satisfaciendo las condiciones de congruencia habituales. Actúa sobre el semiplano superior complejo.

¿Tiene un dominio fundamental contenido en la franja $$\{x+iy: -1\leq x \leq 1\}?$$

¿Es el siguiente un argumento correcto?

La matriz $$\left( \begin{matrix} 1 & \pm 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)$$ está en $\Gamma(2)$ . Si $\tau$ no está en la tira anterior, podemos traducir $\tau$ en esta tira multiplicando con la matriz anterior un par de veces.

Answer 1

He aquí un método visual para comprobarlo $\Gamma(2)$ tiene un dominio fundamental contenido en la franja $\{x+iy : 0\leq x\leq 1\}\subset \{x+iy : -1\leq x\leq 1\}$ . Puede utilizar el programa de Helena Verrill applet de cajón de dominio fundamental para dibujar el dominio fundamental habitual para $\Gamma(2)$ y luego modificarlo para adaptarlo a otras condiciones. Primero seleccione "Gamma(N)" abajo, elija $N=2$ , haz clic en dibujar y luego en editar. Haciendo clic en los pequeños puntos amarillos puedes mover diferentes componentes triangulares del dominio fundamental a otras regiones. Siguiendo estas instrucciones, obtuve la siguiente imagen de un dominio fundamental para $\Gamma(2)$ :

Ahora, para demostrar que este es de hecho un dominio fundamental para $\Gamma(2)$ se puede empezar por demostrar que el dominio fundamental representado originalmente por la aplicación es efectivamente un dominio fundamental para $\Gamma(2)$ y luego sólo hay que escribir cuidadosamente qué matrices traen el dominio original a éste. Mientras estas matrices estén en $\Gamma(2)$ los dos dominios son equivalentes.