¿Por qué las coordenadas de un punto de una circunferencia deben ser sinusoidales en función del ángulo?

Question

Una característica que define a los radianes como unidad de medida es que si un ángulo $\theta$ se expresa en radianes, la altura de un punto del círculo unitario en este ángulo es $\sin(\theta)$ .

¿Es posible elegir una unidad de medida diferente para el ángulo de modo que obtengamos algo distinto a una sinusoide?

¿Por qué la altura de un punto en la circunferencia unitaria en función del ángulo no nos da una media circunferencia bien formada en cada semiperiodo en lugar de una sinusoide? ¿No sería esa forma de círculo más fundamental que una sinusoide?

Si no es así, ¿por qué las coordenadas de un punto del círculo unitario deben ser sinusoidales en función del ángulo?

Puede que tenga un error muy básico en mi pensamiento, tal vez no me enseñaron bien los senos, pero cuando los aprendí fueron algo que surgió de repente. Sé que es como el movimiento de una serpiente que se retuerce o el diagrama temporal de un muelle que rebota pero todavía tengo esta pregunta en mi cabeza. Estaría agradecido si escucho su opinión al respecto.

Answer 1

Supongamos que $\theta$ es un ángulo en radianes. Vamos a crear una nueva unidad para los ángulos llamada $\mathrm{Moytaba}$ o $\mathrm{Moy}$ para abreviar. Definámoslo así $1 \,\,\mathrm{Moy} = c\,\,\mathrm{rad}$ donde $c$ es algún factor de escala constante (por supuesto, cualquier transformación entre unidades de la misma dimensión tiene que ser un factor de escala constante, por razones obvias).

Entonces sabemos que $\theta \,\,\mathrm{rad}$ es sólo $\frac{\theta}{c} \,\,\mathrm{Moy}$ . Dado que la altura de un punto en un círculo wrt el ángulo en radianes nos da una altura de $\sin(\theta)$ entonces la altura de un punto del círculo en $\mathrm{Moy}$ s deben ser $\sin(\frac{\theta}{c})$ . Claramente esto sigue siendo sinusoidal. Así que esta es su prueba de que cualquier otra unidad sigue siendo sinusoidal (y sólo representa escalar el período de la onda sinusoidal).

Pero para las intuiciones reales, como he señalado en mis comentarios anteriores:

Creo que este GIF animado (que maneja el ángulo de forma puramente no unitaria) te dará la intuición que buscas: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Circle_cos_sin.gif

y

De hecho, la razón por la que el seno describe el diagrama temporal de un muelle que rebota es porque la ecuación E cinética + E potencial = energía total (constante) parametriza en realidad un círculo, en el que acabamos obteniendo impulso/velocidad a lo largo de un eje y posición a lo largo del otro. A medida que pasa el tiempo, simplemente nos movemos alrededor de este círculo, con la energía fluyendo de un lado a otro entre cinética y potencial. Cuando graficas la posición con respecto al tiempo, sólo obtienes la altura del punto en el círculo, ¡como lo hacemos aquí! http://en.wikipedia.org/wiki/File:Simple_Harmonic_Motion_Orbit.gif

Edición: Después de hablar un poco más con el OP, no he podido resistirme a citar una última y brillante animación: https://www.deviantart.com/woodmath/art/Euler-s-formula-3d-visualization-268936785

Answer 2

AVISO: Esta respuesta NO ES CORRECTA. Sólo no se ha borrado porque podría ser un error útil para informar a la gente que no sabe que los sinusoides y los cicloides no son lo mismo. lo que la respuesta de abajo describe es, de hecho, un cicloide y NO una sinusoide.

También podemos girar el propio círculo. ¡Digamos que es una rueda y que hay un marcador en algún punto de su circunferencia y que esta rueda está girando cerca de una pared (para que el marcador nos dibuje la trayectoria que toma el punto), ahora el cambio en el ángulo entre el radio horizontal del círculo y ese punto es lo que simulamos con la rotación de la rueda!

He dibujado diferentes estados de la rueda en la imagen de abajo, podemos ver que incluso si el círculo se mueve un epsilon (suponiendo que epsilon es un número infinitesimalmente pequeño) hacia adelante, la nueva ubicación del punto no puede estar en el mismo círculo anterior, obviamente, y eso significa que es imposible producir una trayectoria de movimiento que consiste en medios círculos para un punto fijo en un círculo giratorio. En su lugar, tendrán una forma que llamamos "sinusoidal" (efectivamente son cicloides).

Círculo en movimiento con punto fijo en él