La intuición me dice que esto es cierto, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo.
Intento: Si $M$ es un ideal máximo, entonces $R[X]/M$ es un campo. Supongamos que $M\cap R$ no era primordial. Entonces $R/M\cap R$ no es un dominio integral. Por lo tanto, hay algo de $a,b$ no cero tal que $ab=0$ . Pero ahora podemos considerar estos $a,b$ sur $R[X]/M$ . Esto contradice $R[X]/M$ siendo un campo.
Un resultado más general:
Dejemos que $f:A\longrightarrow B$ sea un homomorfismo de anillos conmutativos, y $\mathfrak q$ sea un ideal primo en $B$ . Entonces $\mathfrak p=f^{-1}(\mathfrak q)$ es un ideal primo en $A$
En efecto, $f$ induce un homomorfismo inyectivo $$\bar f:A/f^{-1}(\mathfrak q)\longrightarrow B/\mathfrak q.$$ Ahora, si $\mathfrak q$ es primo, el cociente $B/\mathfrak q$ es un dominio integral, y $A/f^{-1}(\mathfrak q)$ es isomorfo a un subring, que, necesariamente, es también un dominio integral.
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