¿Qué significan los grupos Chow superiores?

Question

Dejemos que $z^i(X, m)$ sea el grupo abeliano libre generado por todas las codimensiones $i$ subvariedades en $X \times \Delta^m$ que intersectan todas las caras $X \times \Delta^j$ adecuadamente para todo j < m. Entonces, para cada i, estos grupos se ensamblan para dar, con los mapas de restricción a estas caras, un grupo simplicial cuyos grupos de homotopía son los grupos superiores de Chow CH^i(X,m) (m=0 da los clásicos).

¿Alguien tiene una intuición que compartir sobre estos grupos superiores de Chow? ¿Qué miden/significan? Si paso del grupo simplicial a un complejo de cadenas, ¿qué significa estar en el núcleo/imagen del diferencial?

¿Podría decirse que los grupos superiores de Chow llevan la cuenta de cuántas maneras pueden ser racionalmente equivalentes dos ciclos (y cuáles de estas diferentes maneras son entonces equivalentes, etc.)?

Finalmente: No veo ninguna razón para que la definición no tenga sentido sobre los enteros o esquemas de base peores. ¿Es esto cierto? ¿Quizás siga teniendo sentido pero pierda su significado previsto?

Answer 1

La respuesta de Benjamin Antineau necesita una pequeña corrección. Para $X= spec (k)$ tenemos $CH^n (X, n) = K^M _n (k)$ no $CH^{2n} (X, n)$ . De hecho no se sabe demasiado, pero es un tema muy interesante (al menos para mí) para seguir. Un buen comienzo sería el artículo de Burt Totaro 'Milnor K-theory is the simplest part of K-theory' o algo de título similar, donde se puede encontrar la versión cúbica del mismo. Utilizando $\mathbb{A}^1$ -con algunos argumentos de la secuencia espectral, se puede demostrar que la "versión simplicial" y la "versión cúbica" son isomorfas y, por tanto, equivalentes.

Volviendo a la pregunta de Peter Arndt sobre la "intuición", lo más fácil sería verlo como una versión algebro-geométrica de la teoría de la homología singular.

Por ejemplo, cuando $X$ es un espacio topológico, un singular $n$ -está dado por un mapa continuo $s: \Delta ^n \to X$ . Recogemos sus sumas finitas formales sobre los enteros, y aplicamos algunos formalismos simpliciales. Así obtenemos el complejo singular.

Cuando $X$ es una variedad, el problema es malo, incluso si tomamos $\Delta^n$ para ser el n-símplex algebraico. Un problema sería que no hay suficientes morfismos de variedades $s: \Delta^n \to X$ para empezar. Entonces, una salida es tomar todas las "correspondencias", es decir, las subvariedades cerradas en el espacio del producto $\Delta^n \times X$ . Un problema que aún persiste aquí es que, para poder aplicar el formalismo simplicial, hay que tener una buena propiedad de intersección de correspondencias con las caras de $\Delta^n$ , pero tomando todos los ciclos algebraicos, uno puede no conseguirlo. En consecuencia, ponemos condiciones como la intersección adecuada con todas las caras.

Por eso definimos las cosas de esta manera.

En cuanto a la cuestión de lo que hace el kernel/imagen: es difícil explicarlo todo, pero puede valer la pena prestar atención al caso más sencillo: por ejemplo, $z^i (X, 0)$ es la codimensión i de los ciclos algebraicos en $X$ y el mapa de límites $z^i (X, 1) \to z^i (X, 0)$ por definición da la equivalencia racional de los ciclos en $X$ . De este modo, a partir del cokernel, por ejemplo, recuperamos el grupo de Chow.

Answer 2

Creo que la idea original de Bloch era algo así como lo siguiente:

En primer lugar, si $X$ es un esquema regular, puede filtrar $K_0$ por ``codimensión de apoyo''; es decir, ver $K_0(X)$ como el grupo de Grothendieck de la categoría de todos los módulos finitamente generados y sea $F^iK_0(X)$ sea la parte generada por los módulos con codimensión de soporte mayor o igual a $i$ .

A continuación, supongamos que queremos imitar esta construcción para $K_m$ en lugar de $K_0$ . El primer paso es notar que si se parchean dos copias de $\Delta^m_X$ a lo largo de su "frontera" (es decir, la unión de las imágenes de las distintas copias de $\Delta^{m-1}_X$ ) y llamar al resultado $S^m_X$ entonces la teoría de Karoubi-Villamayor te dice que $K_m(X)$ es un sumando directo de $K_0(S^m_X)$ . (El sumando directo complementario es $K_0(X)$ .)
Así que basta con encontrar una "filtración por codimensión de soporte" en $K_0(S^m_X)$ .

Las construcciones habituales no funcionan porque $S^m_X$ no es regular (por lo que, en particular, no todos los módulos corresponden a $K$ -clases de teoría).

Pero: un ciclo en $z^i(X,m)$ tiene una parte positiva $z_+$ y una parte negativa $z_-$ que, (si es homológicamente un ciclo) debe coincidir en el límite. Por lo tanto, se puede imaginar que se toma $\Delta^m_X$ -módulos $M_+$ y $M_-$ apoyado en estas partes positivas y negativas y Parcheando las mismas a lo largo de la frontera para obtener un módulo en $S^m_X$ . Si este módulo tiene dimensión proyectiva finita (lo que "debería" ser así debido a todas las condiciones de reunión adecuada, y siempre que no tenga componentes mal incrustados), entonces da una clase en $K_0(S^m_X)$ por lo tanto, una clase en $K_m(X)$ y podemos tomar el $i-th$ parte de la filtración que se generará por las clases que surjan de esta manera.

El trabajo de Bloch-Lichtenbaum elude en gran medida esta intuición, pero ésta era (creo) la intuición original de por qué debería funcionar.

Answer 3

Esto puede no ser particularmente útil, pero cuando $X=\mathrm{spec} k$ para un campo $k$ entonces $CH^{2n}(X,n)=K_n^M(k)$ El Milnor $K$ -teoría de $k$ . No sé si existen otras caracterizaciones útiles. Se sabe muy poco, salvo las propiedades formales como $A^1$ -invarianza y demás.

Creo que ciertamente se pueden definir los grupos superiores de Chow sobre otros esquemas de base. Para una referencia, yo consultaría el libro de Levine sobre cohomología motivacional.