Encontrar el orden de los grupos de permutación

Question

Encuentra los órdenes de los siguientes subgrupos de permutación de $S_4$ :

a) El subgrupo generado por $(1,2), (3,4)$ y $(1,3)$ .

b) El subgrupo generado por $(1,2), (3,4)$ y $(1,3)(2,4)$ .

No se me ocurre ningún método general para calcular los órdenes de dichos grupos de permutación, salvo para enumerar todas las posibilidades. Pero el problema es que, al hacer el listado, sería bastante tedioso. ¿Podría alguien darme alguna ayuda en este problema?

Answer 1

Para la parte (a), el truco es recordar que $S_4$ es generado por las transposiciones adyacentes $(1,2)$ , $(2,3)$ , $(3,4)$ . Ya tienes las transposiciones adyacentes $(1,2)$ y $(3,4)$ . Se puede obtener la última transposición adyacente como $(2,3)=(1,2)(1,3)(1,2)$ .

Para la parte (b), considere el cuadrado con vértices etiquetados por $$\begin{array}{c c}1&3\\4&2\end{array}$$ La permutación $(1,2)$ es un reflejo a través de la diagonal suroeste-noreste. La permutación $(3,4)$ es un reflejo a través de la diagonal noroeste-sudeste. La permutación $(1,3)(2,4)$ es una reflexión a través de la línea vertical de simetría. Así, los tres generadores son simetrías de este cuadrado, por lo que el subgrupo generado por sus generadores debe estar dentro de las simetrías de este cuadrado, que es el grupo diedro de orden 8. No es difícil convencerse de que se obtiene todo el grupo diedro de orden 8. Por ejemplo, el producto $(1,2)(3,4)$ también está en su subgrupo por lo que su subgrupo tiene al menos 4 elementos no identitarios. Por el teorema de Lagrange, el subgrupo debe ser todo el grupo diedro de orden 8.