Si $e^{itx_n}$ converge cada $t\in\mathbb R$, entonces ¿$x_n$ convergen?

Question

¿Pregunta : es el verdadero siguiente para cualquier número real secuencia $x_n$?

"Si $e^{itx_n}$ converge cada $t\in\mathbb R$, entonces $x_n$ converge."

Tenga en cuenta que $i^2=-1$.

Motivación : sabemos que lo contrario de la Proposición anterior es verdadera. Sin embargo, estoy frente a dificultad para la Proposición anterior. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Sí, $x_n$ converge.

$$f(t):=\lim_{n\to\infty}e^{itx_n},\quad t\in\Bbb R.$ $ De denotar claramente $f$ es Lebesgue medible en $\Bbb R$, por lo que por dominado Teorema de convergencia, $$\lim_{n\to\infty}\int_{t_1}^{t_2}e^{itx_n}dt=\int_{t_1}^{t_2}f(t)dt,\quad \forall~ t_1<t_2.$ $ tenga en cuenta que $|f(t)|=1$, $\forall t\in\Bbb R$, por lo que existen $a<b$, que % $ $$\int_a^bf(t)dt\ne 0\Longrightarrow \int_a^be^{itx_n}dt\ne 0 \quad\text{for large }n.$luego por el Teorema fundamental del cálculo,
$$x_n=\frac{i(e^{iax_n}-e^{ibx_n})}{\int_a^be^{itx_n}dt} \quad\text{for large }n.$$ De % que $n\to\infty$, tenemos $$\lim_{n\to\infty}x_n=\frac{i(f(a)-f(b))}{\int_a^bf(t)dt}.$ $

Answer 2

Que $G$ ser un Grupo topológico localmente compacto. El doble $\hat G$ $G$ es el grupo de continuos homomorphisms $G \to S^1$.

Dado un número real $s$, podemos definir un homomorfismo continuo $\varphi_s :\mathbf R \to S^1$ $t \mapsto e^{ist}$. El mapa $s \mapsto \varphi_s$ es un mapa $\mathbf R \to \hat{\mathbf R}$. Este mapa es un isomorfismo de grupos abelianos localmente compactos.

Por lo tanto, la secuencia $\{x_n\}$ converge en $\mathbf R$ si y solamente si converge la secuencia $\{\varphi_{x_n}\}$ $\hat{\mathbf R}$ si y sólo si el % de secuencia $e^{itx_n}$converge cada $t \in \mathbf R$.