$\sum_\limits{n=1}^{+\infty} a_n^4$ es convergente. Demostrar que $\sum_\limits{n=1}^{+\infty} a_nn^{-\frac{4}{5}}$ es absolutamente convergente.

Question

$\sum_\limits{n=1}^{+\infty} a_n^4$ es convergente. Demostrar que $\sum_\limits{n=1}^{+\infty} a_nn^{-\frac{4}{5}}$ es absolutamente convergente.

Descubro la solución cuando $\{a_n^4\}$ es monótona decreciente. En este caso, es fácil demostrar que $$\lim_{n \rightarrow \infty}na_n^4 = 0 \Leftrightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} n^{\frac{1}{4}}|a_n| = 0$$ para que $$\sum_{n=1}^{+\infty} |a_n|n^{-\frac{4}{5}} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{|a_n|n^{\frac{1}{4}}}{n^{\frac{21}{20}}}$$ Desde $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{\frac{21}{20}}}$ es convergente y $\lim_{n \rightarrow \infty} n^{\frac{1}{4}}|a_n| = 0$ , $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{|a_n|n^{\frac{1}{4}}}{n^{\frac{21}{20}}}$$ es convergente.

Y también considero que la ley conmutativa se mantiene para las series absolutamente convergentes de manera que podemos convertir esta pregunta en que cuando $\{a_n^4\}$ es monótona. O sólo necesito probar que $\{|a_n|n^{\frac{1}{4}}\}$ está acotado sin suponer que $\{a_n^4\}$ es monótona. Pero no sé cómo continuar.

Answer 1

La desigualdad de Hölder (con $p=4, q=\frac 43$ ) da $$ \sum_{n=1}^{N} | a_nn^{-\frac{4}{5}} | \le \left(\sum_{n=1}^{N} a_n^4 \right)^{1/4} \left(\sum_{n=1}^{N} n^{-16/15}\right)^{3/4} $$ y la conclusión se deduce ya que ambos $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^4 $ y $\sum_{n=1}^{\infty} n^{-16/15}$ son convergentes.