¿Cómo puedo encontrar los valores críticos de una función de valor absoluto? $y=|x+1| + |x-1|$ en $[3, -2]$

Question

¿Tendría que graficar esto para encontrar los puntos críticos? Porque he probado el método en el que se reescriben las expresiones en los paréntesis absolutos como $\sqrt{(x+1)^2}$ y $\sqrt{(x-1)^2}$ y tomar la derivada de eso, pero todavía me quedan expresiones absolutas en la ecuación final cuando pongo $y' = 0$ . No sé exactamente qué debo hacer si tengo factores de valor absoluto en la ecuación final.

Answer 1

Obsérvese que el gráfico de $|x+1|$ y $|x-1|$ son versiones desplazadas del gráfico de $|x|$ (1 unidad a la izquierda, respectivamente a la derecha)

• Si $x \leq -1$ entonces $x+1 \leq 0$ y $x-1 \leq 0$ Por lo tanto $f(x) = -(x+1) - (x-1) = -2x.$
• Si $ -1 < x \leq 1$ entonces $x+1 \geq 0$ mientras que $x-1 \leq 0$ Por lo tanto $f(x) = x+1 - (x-1) = 2$ .
• Si $x > 1$ entonces $x+1 \geq 0$ y $x-1 \geq 0$ Por lo tanto $f(x) = (x+1) + (x-1) = 2x.$

Como conclusión, $$f(x) = \begin{cases} -2x &\text{ if } x \leq -1\\ 2 &\text{ if } -1 < x \leq 1\\ 2x&\text{ if } x > 1 \end{cases}.$$

Esto debería ayudarle a encontrar los valores críticos.