Espacios métricos de funciones continuas

Question

Sea X un espacio métrico definido como tal: $$ X = f : [0,1] \to \Re : f \,\text{ is continuous} $$ $$ d(f,g) = sup_{x\in[0,1]} | f(x) - g(x)|$$

Necesito mostrar:
a) El barrio, $ N_r (0) $ es incontablemente infinito.
b) Sea E = { $f \in X : f(0) = 0 $ }. Demostrar o refutar que E está acotado
c)Demostrar que X no es completo (no puedo comentar, pero sí necesito demostrar que no es completo)

No busco a alguien que me resuelva el problema, sólo que me indique la dirección correcta. Creo que esto es decir que X es un espacio métrico de función (?). Creo que no me he encontrado con esto antes y no sé cómo enfocar esto. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Hay que pensar de forma abstracta para no confundirse con el hecho de que los puntos del espacio métrico que se considera son en sí mismos funciones. Se puede seguir pensando de forma métrica en esta situación, ya que la métrica define la distancia entre dichas funciones y se cumplen los axiomas de un espacio métrico.

Para resolver este problema hay que asegurarse de que se entiende lo que significan todos y cada uno de los términos y luego traducirlo al problema en cuestión. Así, por ejemplo, el barrio $N_r(0)$ significa (estoy adivinando aquí) el conjunto $\{f\in X \mid d(f,0) < r \}$ . Así que, para el caso que nos ocupa, $0$ probablemente significa la constante $0$ función. Además, $d(f,0)$ es, por definición, $\sup_x|f(x)| $ . Así que, $N_r(0)=\{f\in X\mid \sup_x |f(x)|<r\}$ .

Por cada $0<\epsilon <r$ la función $f(x)=\epsilon$ por lo tanto satisface que $f(x)\in N_r(0)$ y hay innumerables funciones de este tipo. Del mismo modo, se procede con los demás elementos (al menos los que son correctos).