Pregunta sobre las estrellas y las barras: Bolas idénticas en cajas distintas

Question

Soy terrible en la combinatoria así que cualquier ayuda sería apreciada.

Se colocan 20 bolas idénticas en 10 cajas distintas, de manera que como máximo 3 cajas estén vacías. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

Gracias

Answer 1

Podemos dividir esto en $4$ casos en función del número de cajas vacías, y utilizar estrellas y barras para cada caso.

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Caso 1 : No hay cajas vacías.

Colocamos $1$ bola en cada caja, y nos imaginamos $9$ divisores y el resto de $10$ bolas, por lo que el número de formas posibles de disponer las $19$ objetos es $$\binom{19}{9}$$

Caso 2 : Una caja vacía.

Hay $10$ formas de elegir la caja vacía. Colocamos $1$ bola en cada uno de $9$ cajas, e imagina $8$ divisores con el resto de $11$ bolas, por lo que el número de formas de disponer las $19$ objetos es $$10\binom{19}{8}$$

Caso 3 : Dos cajas vacías.

Hay $\binom{10}{2}=45$ formas de elegir qué casillas están vacías. Colocamos $1$ bola en cada uno de $8$ cajas, e imagina $7$ divisores con el resto de $12$ bolas, lo que da $$45\binom{19}{7}$$

Caso 4 : Tres cajas vacías.

Hay $\binom{10}{3}=120$ formas de elegir qué casillas están vacías. Colocamos $1$ bola en cada uno de $7$ cajas, e imagina $6$ divisores con el resto de $13$ bolas, lo que da $$120\binom{19}{6}$$

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Nuestra respuesta final es

$$120\binom{19}{6}+45\binom{19}{7}+10\binom{19}{8}+\binom{19}{9}=\boxed{6371498}$$

Answer 2

Pista: ¿Puedes hacer el caso en el que no hay casillas vacías? Eso es un estándar de estrellas y barras. Entonces elige $9,8,7$ de las casillas (¿de cuántas maneras cada una?) y haz el caso de que no haya casillas vacías. Súmalos.