La biyección entre $\text{Hom}_G(\mathbb{C}[G],V)$ y $V$

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo y $(\mathbb{C}[G], \rho_\text{reg})$ la representación regular. Necesito demostrar que para cualquier representación $(V, \rho)$ de $G$ existe una biyección desde $\text{Hom}_G(\mathbb{C}[G],V)$ a $V$ .

Mis intentos son:

Quiero demostrar que $\forall v \in V$ hay un único $\varphi \in \text{Hom}_G(\mathbb{C}[G],V)$ tal que $\varphi(e) = v $ . Conseguí demostrar que $\varphi( \sum_{g \in G} a_g g) = \sum_{g \in G} \rho(g) (v)$ satisface esta condición, pero no estoy seguro de cómo demostrar que es la única.

Answer 1

$\phi(e)=\phi'(e)=v$ implica que $\phi(g)=\phi(g.1)=\rho(g)\phi(1)=\rho(g).v$ y $\phi'(g)=\phi'(g.1)=\rho(g)\phi'(1)=\rho(g).v$