Dejemos que $X_1,\ldots,X_n$ sea una secuencia de $n$ variables aleatorias gaussianas independientes e idénticamente distribuidas de media cero, es decir $X_i\sim N(0,\sigma^2)$ para todos $i=1,\ldots,n$ y la varianza $\sigma^2>0$ . Por lo tanto, la densidad de probabilidad de $X_i$ es $\phi(x_i;0,\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-x_i^2/2\sigma^2}$ . Todo esto es teoría de la probabilidad elemental...
Estoy perdido tratando de evaluar la siguiente expectativa:
$$U(k)=\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty\prod_{i=1}^n\phi(x_i;0,\sigma^2)\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^k\prod_{i=1}^{n}dx_i$$
Hay $n$ operaciones de integración y $k$ es un número entero positivo.
Ahora, $U(1)$ es obviamente cero (ya que la media de cada $X_i$ es cero).
$U(2)=n\sigma^2$ desde $X_i$ son independientes y cada una tiene media cero, lo que significa que las expectativas de los términos cruzados son cero: para $i\neq j$ , $E_{X_iX_j}[X_iX_j]=\int_{-\infty}^\infty\phi(x_i;0,\sigma^2)\phi(x_j;0,\sigma^2)x_ix_jdx_idx_j=0$ .
$U(3)=0$ ya que cada $X_i$ tiene media y tercer momento cero.
Estoy confundido cuando llego a $k=4$ . El término de la suma en la expectativa ahora parece:
$$\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^4=\sum_{i=1}^n x_i\sum_{j=1}^n x_j\sum_{a=1}^n x_a\sum_{b=1}^n x_b$$
Como los términos cruzados son cero, puedo agrupar las sumas dentro de la expectativa como sigue:
$$U(4)=\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty\prod_{i=1}^n\phi(x_i;0,\sigma^2)\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\sum_{j=1,j\neq i}^n x_j^2+\sum_{i=1}^n x_i^4\right)\prod_{i=1}^{n}dx_i=n^2\sigma^4+2n\sigma^4$$
Sin embargo, tengo la sensación de que lo anterior no es correcto y que $U(4)=3n\sigma^2$ ... y que $U(k)=nE[X_i^k]$ pero no estoy seguro de cómo llegar allí...
