Demostrar Si a,b son ambos distintos de cero, entonces ab no es igual a 0

Question

No puedo averiguar cómo demostrar el teorema anterior (teorema 3 en la imagen) utilizando sólo los axiomas y los teoremas uno y dos que se muestran en la imagen de arriba, ¡por favor, ayuda si puedes! ( https://i.stack.imgur.com/nwepP.jpg )

Answer 1

Prueba por contradicción:

1. Dejemos que $a,b \in \mathbb{R}$ tal que $a \neq 0$ y $b \neq 0$ . En otras palabras, NO es el caso que $a=0$ o $b=0$ .
2. Supongamos que $ab=0$ .
3. El teorema 2 establece que si $ab=0$ entonces $a=0$ o $b=0$ . Ya hemos asumido que $ab=0$ por lo que podemos concluir que $a=0$ o $b=0$ .
4. En línea $1$ declaramos $a \neq 0$ y $b \neq 0$ , pero en la línea $3$ deducimos que $a=0$ o $b=0$ . Por lo tanto, tenemos una contradicción.
5. Por lo tanto, nuestra suposición de que $ab=0$ es falso, y debe ser cierto que $ab \neq 0$