Por la propia naturaleza de las trayectorias de variación ilimitada (como las del movimiento browniano), una expresión como $dW_t$ debe interpretarse en forma integral. En otras palabras, cuando alguien escribe una expresión de la forma $$dX_t = b dt + \sigma dW_t, \quad t \geqslant 0,$$ lo que realmente quieren decir es $$ X_t - X_0 = \int_0^t b ds + \int_0^t \sigma dW_s, \quad t\geqslant 0.$$ La notación diferencial es la abreviatura de la forma integral y se define como el proceso $X_t$ que satisface la forma integrada en un sentido adecuado.
Para responder a tu pregunta, puedes hacer cualquiera de las dos cosas. Es decir, puedes calcular la integral $\int_0^t (W_s^3 - 1) ds$ directamente, y luego aplicar la fórmula de Itô al aplicar el diferencial (como se debe hacer con el $W_t^2$ término). Sin embargo, si lo único que se quiere es escribir el proceso en forma diferencial, no es necesario hacerlo. En efecto,
\begin{align*} d(X_t) &= d(W_t^2) + (W_t^3 - 1)dt \\ &= 2W_t dW_t + dt + (W_t^3 - 1)dt \\ &= 2W_t dW_t + W_t^3 dt. \end{align*} De nuevo, en lo anterior, la primera igualdad sólo tiene sentido porque $$W_t^2 - W_0^2 = \int_0^t 2W_s dW_s + \int_0^t ds.$$
