Ceros de una función holomorfa

Question

Supongamos $\Omega$ es un dominio acotado en el plano cuyo límite consisten $m+1$ discontinuo analítica simple curvas cerradas.

Deje $f$ ser holomorphic y no constante en un barrio de el cierre de $\Omega$ tal que

$$|f(z)|=1$$ for all $z$ in the boundary of $\Omega$.

Si $m=0$, entonces el máximo principio se aplica a $f$ $1/f$ implica que el $f$ tiene al menos un cero en $\Omega$.

¿Y el caso general? Yo creo que el $f$ debe tener al menos $m+1$ ceros en $\Omega$, pero no soy capaz de demostrarlo...

Gracias

Answer 1

Esto es cierto y es una consecuencia del Argumento de Principio; el valor Máximo del Módulo de Principio no es lo suficientemente precisa para demostrarlo. Aquí está la prueba de $m=0$ y se generaliza: sabemos que $$n(w)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial \Omega}\frac{f'(z)}{f(z)-w}\, dz$$ gives the number of times $f$ equals $w$ in $\Omega$ and is continuous on $D=\{|w|<1\}$. Since $f$ is not constant, $n(w)\ge 1$ for some $w\D$. By connectedness and continuity, we also have $n(0)\ge 1$. Therefore $f$ has at least one zero in $D$.

En el caso general, vamos a $\partial\Omega=\gamma_1\cup\cdots\cup \gamma_{m+1}$ con la orientación de la $\gamma_1-\cdots- \gamma_{m+1}$ (por lo $\gamma_1$ es también el límite de la ilimitada compoent de ${\mathbb C}\backslash\Omega$). Mediante la Asignación Abierta Teorema, se puede deducir que cada una de las $f(\gamma_k)$ atraviesa el círculo unidad al menos una vez, con $f(\gamma_1)$ en la dirección positiva y $f(\gamma_k)$ en la dirección negativa para $k\ge 2$. Para cada punto en el círculo unitario es asumido por $f$ $m+1$ veces $\partial\Omega$. Utilice este hecho y un punto de $w$ cerca de la unidad de círculo para ver que hay, al menos, $m+1$ $\Omega$ que tiene la imagen de $w$. Por lo $n(w)\ge m+1$. Ahora uso el mismo argumento como el $m=0$ de los casos a la conclusión de que la $n(0)\ge m+1$. (O uno puede simplemente utilizar una continuación analítica de $f$ y de acabar con la $w$ cerca del círculo unidad.)

Answer 2

Debe decir "al menos $m+1$ ceros contando multiplicidades", para mayor claridad. Sin multiplicidades, la declaración no sería correcto para $m>0$ (ya que el mapa debe tener puntos críticos).

Steve respuesta puede ser formulada de manera concisa, si usted sabe acerca de los mapas. Una función continua entre dos vacío abierto subconjuntos $U$ $V$ del plano complejo es adecuado si cada preimagen de un subconjunto compacto de $V$ es compacto. Esto es equivalente a decir que el$f(z)\to\partial V$$z\to \partial U$.

Una adecuada holomorphic mapa tiene un grado; es decir, no es un número $m$ tal que $f^{-1}(v)$ $m$ elementos (contando multiplicidad) para cada $v\in V$. De hecho, el conjunto de $f^{-1}(v)$ es compacto y discreto, y por lo tanto finito, para cada $v$, y mediante el argumento de principio (de forma similar a como en el de Steve respuesta), se puede ver que el número de elementos de este conjunto depende continuamente en $v$; por lo que este número es constante.

En tu ejemplo, cada punto en el círculo unitario ha $m+1$ preimages en el límite, lo que implica que el grado de $f$ al menos $m+1$.

(Tenga en cuenta que no es necesario asumir que el límite consiste en la analítica de curvas.)

Answer 3

Aquí está mi intento de explicación.

Desde el cierre de las $\Omega$ es compacto, por lo que es su imagen en $f$. Por la Asignación Abierta Teorema de la, $f(\Omega)$ es abierto, por lo que el límite de que la imagen debe ser de $f(\partial \Omega)$, la imagen de la frontera de $\Omega$. Sabemos que $f(\partial \Omega)$ está en el círculo unidad, por lo $f(\Omega)$ debe ser la unidad de disco.

Supongamos $\gamma_j$ es uno de los interiores límite de las curvas de $\Omega$, orientada positivamente (es decir, a la izquierda). Así como viajar alrededor $\gamma_j$ en la dirección de avance, su mano derecha está en $\Omega$ y tu mano izquierda en un "agujero" en $\Omega$. Ahora suponga que su amigo viaja en $f(\gamma_j)$ (que está en el círculo unitario) a medida que avanza en torno a $\gamma_j$, por lo que el amigo se a $f(z)$ cuando están en $z$. Por la conformación de la propiedad de las funciones analíticas, su amigo de la mano derecha debe estar también en $f(\Omega)$. Así como usted va alrededor de $\gamma_j$ hacia la izquierda, su amigo que está pasando alrededor de la unidad de círculo en sentido horario. Cuando regrese a su punto de partida, su amigo también debe volver a su punto de partida, después de haber ido al menos una vez en sentido horario (es decir, en el "negativo" de la dirección) alrededor del círculo unitario.

En el otro lado (por así decirlo), si $\gamma_1$ es el límite exterior de la curva de $\Omega$, orientada hacia la izquierda, mientras viaja alrededor de $\gamma_1$ hacia la izquierda con su mano izquierda y su amigo están en $\Omega$ $f(\Omega)$ respectivamente, por lo que su amigo está viajando en sentido antihorario alrededor del círculo unitario.

Answer 4

Desde cada una de las $m+1$ simple curvas cerradas son distintos, es claro que $\Omega$ $m+1$ de los componentes conectados. Deje $U$ ser uno de estos.

A continuación, $f(z)$ restringido a $U$ es un holomorphic función. Además, no es constante y holomorphic en un barrio de el cierre de $U$, debido a que este cierre está contenida en $\Omega$. Además, el límite de $U$ está contenida en el límite de $\Omega$, lo $|f(z)| = 1$ sobre el límite de $U$.

Como se indica en la explicación del problema, si asumimos que $f$ es no-cero en $U$, en tanto $f(z)$ $1/f(z)$ son holomorphic en $U$, y por lo tanto debe alcanzar su nivel máximo en el límite de $U$. Pero dado que el $|f(z)| = 1$ sobre el límite de $U$, y así obtenemos

$|f(z)| \leq 1$ $|1/f(z)| \leq 1$ $z \in U$ . Por lo tanto, debemos tener ese $|f(z)| \equiv 1$$U$, lo cual es una contradicción, como se supone que $f(z)$ no es constante. Por lo tanto $f$ tiene al menos un cero en $U$. Asumimos nada acerca de que el componente conectado, que hemos utilizado, así que esto es cierto en cada componente de $\Omega$, y por lo tanto $f(z)$ tiene al menos $m+1$ ceros.