Demuestre que B es un marco ajustado si y sólo si $\sum_{j=1}^N \|v_j\|^2e^{2i\theta_j}=0$

Question

1. Dejemos que $B=\{ v_0, \dots, v_k \} \subset \mathbb{R}^2$ sea un marco en $\mathbb{R}^2$ . Supongamos que $v_0=(1,0)$ . Sea $\theta_i$ sea el ángulo formado por $v_i$ y $v_0$ . Demuestre que B es un marco ajustado si y sólo si $$\sum_{j=1}^N \|v_j\|^2e^{2i\theta_j}=0$$ Sugerencia: Deja que $v_j=(r_j\,cos\theta_j,r_j\,sin\theta_j) \dots$
2. Utiliza la identidad anterior para demostrar que los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio 1 forman un marco apretado en $\mathbb{R}^2$ .

Un marco ajustado es si las filas de la matriz son ortogonales entre sí y tienen la misma longitud. También $$\|v\|^2=c^2 \sum_{i=1}^k \langle x,v_i \rangle^2$$ si B es ajustado.

$\textbf{Proof:}$ Dejemos que $v_i=\{ \begin{bmatrix} r_j\cos(\theta_j) \\ r_j\sin(\theta_j) \end{bmatrix} \}_{j=1}^k$ Entonces $$\sum_{j=1}^k \|v_j\|^2e^{2i\theta_j}= \sum_{j=1}^k r^2_j(\cos(2\theta_j) +i\sin(2\theta_j))$$

$\Rightarrow$ : Supongamos que B es ajustado, entonces

$$ \|(1,\dots,|r_k|\cos\theta_j)| =\|(0,\dots, |r_k|\sin\theta_j)\| \Rightarrow \sum_{j=1}^k r_j^2(\cos^2\theta_j-\sin^2\theta_j)=0=\sum_{j=1}^kr_j^2\cos(2\theta_j)$$

$$\langle (1,\dots,|r_j|\cos\theta_j),(0,\dots, |r_j|\sin\theta_j) \rangle =0 \Rightarrow \sum_{j=1}^k r_j^2(\cos\theta_j\sin\theta_j)=0=\sum_{j=1}^k r_j^2sin(2\theta_j)=-\sum_{j=1}^k r_j^2isin(2\theta_i)$$

De estas dos ecuaciones tenemos: $$-\sum_{j=1}^k r_j^2i\sin(2\theta_i)=\sum_{j=1}^kr_j^2\cos(2\theta_j) \Rightarrow \sum_{j=1}^N r^2_j(\cos(2\theta_j) +i\sin(2\theta_j))=0$$

$\Leftarrow$ : Supongamos que lo siguiente es cierto: $$\sum_{j=1}^k \|v_j\|^2e^{2i\theta_j}=\sum_{j=1}^k r^2_j(\cos(2\theta_j) +i\sin(2\theta_j))=0$$ Vamos a demostrar que B es un marco ajustado mediante una prueba por contradicción.

Dejemos que $p=\sum_{j=1}^kr_j^2\cos(2\theta_j)$ , donde $0 \neq p \in \mathbb{R}$ y $q=\sum_{j=1}^k r_j^2\sin(2\theta_i)$ , donde $0 \neq q \in \mathbb{R}$ .

\begin{equation*} \begin{split} -\sum_{j=1}^k r_j^2isin(2\theta_i)=\sum_{j=1}^kr_j^2\cos(2\theta_j) & \Rightarrow p=-iq \\ & \Rightarrow (p+0i)=(0-iq) \\ & \Rightarrow (p+0)+(0-q)i=0 \\ \end{split} \end{equation*}

Esto sólo es cierto si $p,q=0$ , lo cual es una contradicción.

¿Cómo probaría la parte 2?

Answer 1

Os vértices de un polígono regular de n lados tienen coordenadas en forma de $(\cos(\frac{2\pi k}{n}), \sin(\frac{2\pi k}{n}))z$ , donde $k=0,\dots,n$ . Teniendo los conocimientos de la parte a, podemos hacer lo siguiente:

\begin{equation*} \begin{split} \sum_{j=1}^k (\cos(\frac{2\pi j}{k}) +i\sin(\frac{2\pi j}{k})) & =\sum_{j=1}^k e^{\frac{2\pi ij}{k}} \\ & =\frac{1-e^{\frac{2\pi ik}{k}}}{1-e^{\frac{2\pi i}{k}}} \\ & =\frac{1-1}{1-e^{\frac{2\pi i}{k}}} \\ & =0 \\ \end{split} \end{equation*}