$\{x\in\mathbb{R}:m(E\cap(x-k,x+k))\geq k, \forall k>0\}$ es medible por Lebesgue

Question

Consideremos un conjunto medible de Lebesgue $E\subset\mathbb{R}$ . Demostrar que el conjunto $\{x\in\mathbb{R}:m(E\cap(x-k,x+k))\geq k, \forall k>0\}$ es medible por Lebesgue.

Estoy un poco confundido sobre dónde empezar. Parece que puedo aplicar la definición de conjunto abierto de la mensurabilidad. Es decir, existe un conjunto abierto $O$ con $E\subset O$ et $m(O-E)\leq\epsilon$ . Pero esto demostraría que $E$ es medible - y ya sabemos que $E$ es. Pero el conjunto en cuestión no sería simplemente un intervalo abierto en $\mathbb{R}$ ¿que sabemos que es medible? Me parece que me estoy perdiendo algo muy simple....

Answer 1

Arreglar $k$ . Considere la función $$f_k(x)=m(E\cap(x-k,x+k)).$$ Esta función es continua: utilizando que $m(A)-m(B)=m(A\setminus B)-m(B\setminus A)$ para medir $A,B$ y asumiendo $x<y$ , $$ |f_k(y)-f_k(x)|=|m(E\cap(x-k, y-k))-m(E\cap[(x+k, y+k))|\leq2|y-x|. $$ Así que $f_k$ es medible, y $$ \{x\in\mathbb{R}:m(E\cap(x-k,x+k))\geq k, \forall k>0\}=\bigcap_kf_k^{-1}[k,\infty) $$ es medible.