¿Pregunta sobre la ecuación de onda modificada?

Question

Una cuerda que se mueve en un medio elástico se rige por:

$u_{tt} = c^2u_{xx} ^2u$

donde c y son constantes. Resuelve esta ecuación para una cuerda de longitud L, fijada en los extremos, sujeta a un desplazamiento inicial f(x) y a una velocidad inicial nula.

Entiendo que tengo que encontrar una solución separada en la forma $u(x,t) = X(x)T(t)$ .

Después de enchufar eso en la ecuación original, obtuve:

$X(x)T''(t) = c^2X''(x)T(t) - ^2X(x)T(t)$

Entonces, después de dividir por $X(x)T(t)$ ,

$\frac{T''(t)}{T(t)} = c^2\frac{X''(x)}{X(x)} - ^2 $

Sé que esto sólo es cierto si cada lado es igual a una constante de separación

$\frac{T''(t)}{T(t)} + ^2 = $

$c^2\frac{X''(x)}{X(x)} = $

Pero no estoy seguro de si voy en la dirección correcta / dónde ir desde aquí. Tampoco estoy seguro de cómo interpretar las "condiciones de contorno" dadas. Agradezco cualquier ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

Porque se debe esperar un comportamiento oscilante en $x$ , tal vez sería conveniente llamar a la constante $-\lambda$ . Entonces el $x$ la ecuación se convierte en

$$X''+\frac{\lambda}{c^2} X=0$$

para que

$$X(x) = A \cos{\left ( \frac{\sqrt{\lambda}}{c} x\right )} + B \sin{\left ( \frac{\sqrt{\lambda}}{c} x\right )}$$

Dado que la cuerda está fijada en los extremos, las condiciones de contorno son

$$X(0) = X(L) = 0$$

$X(0)=0 \implies A=0$ y $X(L)=0$ significa que

$$\sin{\left ( \frac{\sqrt{\lambda}}{c} L\right )}=0$$

Esto sólo ocurre para determinados valores del argumento, es decir, cuando

$$\frac{\sqrt{\lambda}}{c} L = n \pi \implies \lambda_n = \left (\frac{n \pi c}{L} \right )^2 $$

El $t$ la ecuación se convierte en

$$T'' + \left [ \gamma^2 + \left (\frac{n \pi c}{L} \right )^2\right ] T = 0$$

lo que significa que

$$T_n(t) = C_n \cos{\eta_n t} + D_n \sin{\eta_n t}$$

donde

$$\eta_n = \sqrt{\gamma^2 + \left (\frac{n \pi c}{L} \right )^2}$$

La solución general es una combinación lineal sobre cada $n$ :

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} (C_n \cos{\eta_n t} + D_n \sin{\eta_n t}) \, \sin{\left ( \frac{n \pi}{L} x\right )} $$

Las constantes se encuentran a partir de las condiciones iniciales. Primero, la condición de que la posición inicial de la cadena sea $f(x)$ :

$$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \, \sin{\left ( \frac{n \pi}{L} x\right )} \implies C_n = \frac{2}{L} \int_0^L dx \, f(x) \sin{\left ( \frac{n \pi}{L} x\right )} $$

A continuación, la velocidad inicial de la cuerda $u_t(x,0)=0$ implica que

$$0 = -\sum_{n=1}^{\infty} \eta_n D_n \, \sin{\left ( \frac{n \pi}{L} x\right )} \implies D_n=0$$

Por lo tanto, la solución a su problema es

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \cos{\eta_n t} \, \sin{\left ( \frac{n \pi}{L} x\right )} $$