¿Puede alguien ayudarme con el siguiente problema de libro de texto? Encuentra el punto más cercano y la distancia de $b=(1, 1, 2, -2)^T$ al subespacio abarcado por $(1, 2, -1, 0)^T$ , $(0, 1, -2, -1)^T$ y $(1, 0, 3, 2)^T$ . Creo que se supone que debo utilizar la matriz de Gram, pero cualquier ayuda será genial. Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
ChocolateAndCheese
Puntos
537
Piensa en cómo podríamos hacer esto en una dimensión menos, es decir, encontrar la distancia de un punto en $\mathbb{R}^3$ a un avión. Calcularíamos el vector normal al plano $\vec{n}$ y luego calcular cualquier vector que conecte el punto con el plano, llamándolo $\vec{d}$ . La distancia sería entonces la proyección escalar de $\vec{d}$ en $\vec{n}$ . Se trata de un problema muy estándar, así que si algo de esto no te resulta familiar, puede valer la pena echar un vistazo a cualquiera de los numerosos ejemplos que hay en Internet (basta con buscar en Google "cómo calcular la distancia de un punto a un plano").
Podemos hacer básicamente lo mismo una dimensión más alta. Tienes un conjunto de tres vectores en $\mathbb{R}^4$ y estos vectores abarcan un subespacio $V$ o $\mathbb{R}^4$ . Podemos calcular un vector que sea normal a $V$ calculando un vector $\vec{n}$ que sea perpendicular a los tres vectores originales (supongo que sabes cómo hacerlo: Establecer $\vec{n} = (a, b, c, d)$ y resolver el sistema de ecuaciones que resulta de puntear $\vec{n}$ con cada uno de los tres vectores y estableciendo cada producto punto a $0$ ). Una vez que se resuelve para $n$ se tendrá un vector que es normal al subespacio $V$ .
Ahora calcula cualquier vector $\vec{d}$ que conecta el punto $b=(1, 1, 2, -2)$ al subespacio $V$ y calcular la proyección escalar de $\vec{d}$ en $\vec{n}$ .
