¿Qué es una regla de cadena para el gradiente?

Question

Si $f:\mathbb R \to \mathbb R$ y $g:\mathbb R \to \mathbb R$ sea una función definible, entonces sabemos que la función de composición $h=g\circ f$ es difusible y $$\frac{d}{dx} h(x)= h'(x)= f'(g(x)) \cdot g'(x) $$ (Aquí $\cdot $ denota la multiplicación de números reales)

Supongamos que $f:\mathbb R^{n} \to \mathbb C$ y $g:\mathbb C \to \mathbb C.$ Considere la función de composición $h:\mathbb R^{n} \to \mathbb C$ como $h(x)= g\circ f(x)$ para $x\in \mathbb R^n.$

Mi pregunta: (1) ¿Cuál es el anólogo de la fórmula anterior en dimensión superior? (2) ¿Qué es un gradiente de $h= g\circ f:\mathbb R^n \to \mathbb C$ ? En otras palabras, lo que es, teniendo en cuenta la fórmula anterior, $\nabla h (x)$ , ( $x\in \mathbb R^n$ )? ¿Podemos decir $\nabla h(x)= \nabla g (f(x)) \cdot \nabla u (x)$ y ahora lo que es un significado de $\cdot $ ¿Aquí?

Answer 1

Es más fácil ver $\mathbb{C}$ como $\mathbb{R}^2$ a menos que se asuma la analiticidad. Viéndolo de esta manera, $g$ y $f$ ambos tienen matrices jacobianas $J_f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^2$ y $J_g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ y tienes $J_{g \circ f}(x)=J_g(f(x)) J_f(x)$ (donde la concatenación denota la multiplicación de matrices o, equivalentemente, la composición de mapas lineales). Si de hecho $g$ es una función holomorfa, entonces $J_g$ es isomorfa a la función de valor complejo $g'$ por el isomorfismo $a+bi \sim \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$ .