¿Cuál es una categoría razonable que no sea localmente pequeña?

Question

Recordemos que una categoría C es pequeño si la clase de sus morfismos es un conjunto; en caso contrario, es gran . Uno de los muchos ejemplos de una gran categoría es Set por las razones de la paradoja de Russell. Una categoría C es localmente pequeño si la clase de morfismos entre dos objetos cualesquiera es un conjunto. Por supuesto, una categoría pequeña es necesariamente pequeña a nivel local. Lo contrario no es cierto, ya que Set es un contraejemplo.

Ahora, puedo construir categorías que no son localmente pequeñas. Sin embargo, ¿cuál es la categoría más común o más razonable?

Answer 1

Una clase importante de ejemplos en los que se trata de un problema para el que se necesita mucha tecnología para sortearlo es en el localización de un no-pequeño (pero normalmente localmente pequeño) categoría con equivalencias débiles C:

los morfismos en la localización son en general sig-zags finitos arbitrarios de morfismos en C (ver localización simplificada y las referencias que allí se dan). Por lo tanto, si C no es pequeño, a priori no es localmente pequeño.

Pero, en particular, SI la categoría con equivalencias débiles se extiende a un categoría de modelo ¿se deduce que la localización, es decir, la categoría de homotopía es localmente pequeño después de todo.

Pero si no es así, ciertamente siempre se considerará la localización como una "categoría razonable".