¿Cuál es una categoría razonable que no sea localmente pequeña?

Question

Recordemos que una categoría C es pequeño si la clase de sus morfismos es un conjunto; en caso contrario, es gran . Uno de los muchos ejemplos de una gran categoría es Set por las razones de la paradoja de Russell. Una categoría C es localmente pequeño si la clase de morfismos entre dos objetos cualesquiera es un conjunto. Por supuesto, una categoría pequeña es necesariamente pequeña a nivel local. Lo contrario no es cierto, ya que Set es un contraejemplo.

Ahora, puedo construir categorías que no son localmente pequeñas. Sin embargo, ¿cuál es la categoría más común o más razonable?

Answer 1

La categoría de multiespacios (gracias a todos los que han corregido mi terminología). Los objetos son conjuntos, y un mapa de $A$ a $B$ es un conjunto $X$ equipado con un mapa $X → A × B$ . La composición de $X → A × B$ y $Y → B × C$ es $X ×_B Y → A × C$ .

Aquí estoy robando la notación de la geometría algebraica: $X ×_B Y$ es el límite del diagrama $X → B ← Y$ .

Hay que reconocer que nunca he querido permitir $X$ para ser un conjunto arbitrario. Normalmente quiero que sea algo como un conjunto finito, un complejo simplicial finito o un esquema de tipo finito. Pero es ciertamente natural definir la categoría sin ninguna restricción.

Answer 2

Si C es una categoría localmente pequeña y W es una clase de morfismos, podríamos intentar formar una categoría C[W -1 La categoría resultante tiene los mismos objetos que C, y está más o menos claro cuáles deberían ser los morfismos: una especie de zigzag de morfismos, donde se requiere que los morfismos hacia atrás estén en W, módulo de alguna relación de equivalencia (para que los morfismos hacia atrás sean realmente inversos a los morfismos de W).

El problema es que, por lo general, habrá una clase propia de zigzags entre dos objetos cualesquiera X e Y; por ejemplo, podría haber una clase propia de objetos Z que den cada uno de ellos al menos un zigzag X → Z ← Y. Después de tomar las clases de equivalencia, no está muy claro si las clases Hom de la categoría resultante C[W -1 ] son realmente conjuntos. En general, no tienen por qué serlo.

Ahora existen técnicas muy poco triviales para demostrar que C[W -1 ] en realidad es una categoría localmente pequeña en muchos casos de interés, como hTop (como se menciona en un comentario). Así que esto es sólo una ilustración de lo que podría haber ido mal.

Answer 3

Una categoría de un objeto consiste en una clase de flechas equipadas con una operación binaria unitaria asociativa, es decir, la composición. Es un 'monoide posiblemente grande', si se quiere. Y es localmente pequeño si esta clase es pequeña (es decir, un conjunto).

Así que, para producir una categoría razonable no localmente pequeña, basta con producir un monoide razonable no pequeño. El monoide de cardenales bajo adición es uno. El monoide de cardenales bajo la multiplicación es otro.

Los cardenales son simplemente clases de isomorfismo de conjuntos, y podemos producir ejemplos similares tomando clases de isomorfismo en otras categorías. Por ejemplo, podemos tomar el monoide de clases de isomorfismo de grupos, con el producto directo como multiplicación, o el monoide de clases de isomorfismo de espacios vectoriales sobre Z /23 Z con la suma directa como multiplicación, etc.

Answer 4

La categoría Gato cuyos objetos son categorías y cuyos morfismos entre dos categorías consisten en funtores.

Si esto es "razonable" es algo que usted debe juzgar.

Answer 5

La categoría de topoi de Grothendieck y (clases de equivalencia de) morfismos geométricos. Por ejemplo, si $A$ es el topos clasificador de los grupos abelianos, los morfismos geométricos de $Set$ a $A$ están en biyección con las clases de isomorfismo de los grupos abelianos, que ciertamente no es un conjunto.