Ventajas de los espacios difeológicos sobre las láminas generales

Question

Últimamente he estado jugando y pensando un poco en los espacios difeológicos, y me gustaría entender algo bastante crucial antes de seguir adelante. Primero un poco de antecedentes:

Los espacios difeológicos son una categoría cartesiana cerrada, completa y cocompleta que contiene todas las variedades de dimensión infinita y, de hecho, forman un cuasi-topos.

Los espacios difeológicos, de forma concisa, no son más que gavillas concretas en el sitio de los colectores cartesianos (colectores de la forma $\mathbb{R}^n$ ):

http://ncatlab.org/nlab/show/concrete+sheaf

Sin embargo, la categoría de TODAS las láminas sobre variedades cartesianas, categóricamente es aún más agradable, ya que es un topos genuino.

$\textbf{My question is:}$ ¿Qué se puede hacer con los espacios difeológicos que no se pueda hacer con las gavillas generales? O, en términos más generales, ¿cuáles son las ventajas de los espacios difeológicos frente a las láminas generales?

Todas las generalizaciones de los conceptos de la geometría diferencial a los espacios difeológicos que he visto hasta ahora, en realidad se trasladan a los topos genuinos de las gavillas (aunque a veces con un poco más de trabajo).

Soy consciente de que se gana la capacidad de trabajar con un conjunto con estructura extra y hablar de sus puntos, etc., pero, ¿qué se gana con esto? Parece que siempre se puede utilizar el enfoque del functor de puntos de Grothendieck.

¿Es que los límites y colímites se parecen más a sus homólogos para los colectores?

Answer 1

Quiero hacer dos sencillas observaciones sobre los espacios difeológicos que podrían dar una respuesta parcial a tu pregunta.

1) Tenemos las siguientes inclusiones de subcategorías completas $$Mfd \subset Diff \subset Sh \subset PSh$$ donde $Mfd$ es la categoría de las variedades lisas de dimensión finita, $Diff$ son espacios difeológicos (es decir, tramas concretas sobre espacios cartesianos), Sh son tramas sobre espacios cartesianos y $PSh$ son presheaves sobre espacios cartesianos. Las dos últimas inclusiones son reflexivas.

Veamos primero la inclusión $Sh \subset PSh$ . Siguiendo la misma línea argumental que la anterior, a priori no hay razón para trabajar con $Sh$ en lugar de $PSh$ ya que ambas categorías son igualmente agradables (topoi) y la definición de una preseaf es claramente más sencilla que la de una gavilla. Pero hay algunos colímites en $Mfd$ que nos gusta mucho, es decir, el diagrama coequalizador que corresponde a una cubierta abierta $(U_\alpha)$ de un colector $M$ . Con la inclusión de $Mfd$ en $PSh$ esto ya no es un coequipamiento, en otras palabras: Si pegamos conjuntos abiertos en $PSh$ juntos no obtenemos lo mismo que al pegar como colectores. Este defecto se subsana exactamente con la propiedad de la gavilla. Esto significa que restringiendo a la subcategoría más pequeña $Sh \subset PSh$ los colímites cambian de tal manera que el pegado de conjuntos abiertos se comporta tan bien como en los colectores. La gracia es que la restricción a $Sh$ proporciona la categoría con los coigualadores "correctos" de los conjuntos abiertos.

Ahora pasemos a la inclusión $Diff \subset Sh$ . La situación es exactamente la misma que antes. Los límites en $Diff$ se calculan como Límites en $Sh$ (y por lo tanto también $PSh$ ) pero los colímites son diferentes en general (hay que aplicar el functor de concreción). Esto es lo que ocurre categóricamente. Ahora resulta que hay colímitos en colectores que se convierten en colímitos en espacios difeológicos pero no en colímitos en gavillas. Aquí estaría muy bien un ejemplo. Lamentablemente no he podido recordar el ejemplo que tenía para este comportamiento. Aun así, a partir de un razonamiento abstracto está claro que los colimits en las dos categorías tienen que ser diferentes.

De ahí que se pueda argumentar que los espacios difeológicos tienen los colímites "geométricos" correctos y las gavillas no. El precio es, por supuesto, que excluimos algunos "espacios" interesantes como la gavilla de formas diferenciales y perdemos la propiedad de que la categoría es un topos.

2) Si queremos "hacer" geometría sobre espacios difeológicos resulta que hay dos posibles definiciones de haces principales:

• un haz sobre un espacio difeológico $M$ es un morfismo hacia la pila de haces sobre variedades de dimensión finita. Esto significa que tenemos una familia de haces sobre cada parcela junto con isomorfismos coherentes. Nótese que este tipo de haces está determinado por su pullback a espacios de dimensión finita. Esto equivale a tener un espacio difeológico $P \to M$ junto con una acción libre transitiva sobre las fibras tal que el mapa cotizante $P \to M$ es una subducción suryectiva (es decir, se convierte en una inmersión en cada parcela). Para obtener ese tipo de haces tenemos que dotar a los espacios difeológicos de la topología de Grothendieck de las subducciones.

• un haz sobre un espacio difeológico $M$ es un espacio $P \to M$ con una acción libre, transitiva sobre las fibras, tal que es localmente trivial, donde localmente se refiere al espacio topológico subyacente de $M$ . Este es el tipo de paquete que la gente considera en el mundo de $\infty$ -de la Tierra. Para conseguir esto tenemos que tomar la topología de Grothendieck de morfismos que son suryentes y admite secciones locales (en la topología). Por lo tanto, realmente necesitamos el espacio topológico subyacente.

No prefiero una de las dos posibles Topologías de Grothendieck, pero la segunda se acerca más a lo que la gente ha hecho en el $\infty$ -de las dimensiones. Y se puede demostrar que el haz universal $EG \to BG$ para un grupo de Lie compacto es de este tipo (por supuesto hay que encontrar modelos difeológicos de $BG$ y $EG$ ).

La primera topología tiene un análogo obvio en la categoría $Sh$ de todas las gavillas, pero la segunda utiliza crucialmente el espacio topológico subyacente de un espacio difeológico.

Answer 2

Voy a adelantarme a mi estimado colega y decir que, para algunas personas, el propósito de los espacios difeológicos es servir de escalón entre los colectores y la categoría de gavillas sobre colectores (o sobre espacios cartesianos, que es lo mismo). Así que, para esta gente, has dado con el punto principal: realmente debe para trabajar con gavillas todo el tiempo.

El problema es que hay algunas personas intransigentes a las que les gustan mucho los colectores tal y como son, pero a veces tienen que trabajar con cosas que son casi, pero no del todo, diferentes a los colectores. Para estas personas, cuanto más se alejan de las verdaderas variedades, más incómodas se sienten. Uno de los mayores pasos para estas personas es perder el conjunto subyacente. Así que los espacios difeológicos son una categoría en la que esas personas pueden tener la mayoría de las ventajas de las gavillas sin tener que descartar su manta de comodidad de algo que todavía se parece a las variedades en algunos manera.

Así que los espacios difeológicos son un cómodo (¡sí, uso la palabra deliberadamente!) punto intermedio en el que los que han visto la luz pueden seguir hablando con los que todavía se estremecen bajo sus mantas de confort.

Por citar nombres, entre las personas de la primera categoría se encuentran Urs Schreiber y John Baez (de hecho, creo que John lo señala en alguna parte de n-Cafe). Entre las personas de la segunda categoría estoy yo.

De hecho, yo diría que los espacios difeológicos están más cerca de la Categoría Única y Verdadera de los Espacios Suaves que las gavillas sobre espacios cartesianos. Los espacios Frolicher parecen tener irremediablemente conjuntos subyacentes -yo y algunos otros nos hemos preguntado de vez en cuando si hay una forma de eliminar esa propiedad, pero parece que está ligada a lo que son.

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(Añadido en la edición): No sé por qué, pero no me di cuenta la primera vez de la última línea:

¿Es que los límites y colímites se parecen más a sus homólogos para los colectores?

que es impar, porque ese es el tema de un pequeño teorema que he demostrado y que se puede encontrar en el nLab:

http://ncatlab.org/nlab/show/topological+nociones+de+Fr%C3%B6licher+espacios#hausdorff

Esencialmente, si se quiere preservar los límites y colímites que ya existen en la categoría de variedades, entonces hay que trabajar en la categoría de espacios de Hausdorff Frölicher. Cuando se amplía esa categoría (digamos a espacios de Frölicher o a espacios difeológicos, o a láminas) entonces se añaden cosas "en los huecos" y se crean nuevos límites o colímites que no coinciden con los que se tenían antes (en estos casos, casi siempre son colímitos, pero si se adopta el punto de vista de los "mapas fuera", serán límites). Así que esa pregunta no es realmente una pregunta sensata para los espacios difeológicos, ya que has ya perdió algunos colimbos. Supongo que puedes intentar limitar los daños...

Answer 3

Creo que el argumento a favor de los espacios difeológicos es simplemente que elimina cierto tipo de construcciones patológicas que son posibles con las gavillas generales, sin que te cueste nada. Las gavillas generales permiten construcciones que geométricamente son enfermizas y erróneas. Por ejemplo, se puede definir una gavilla que geométricamente esté formada por dos líneas, de modo que cada punto de las dos líneas se identifique, pero las dos líneas sigan siendo distintas. La condición "concreta" impide ese tipo de patología.

Answer 4

No acostumbro a leer este sitio web, por lo que publico mi comentario muy tarde, después de haber buscado esta página en Google al azar. Creo que una de las razones por las que los espacios difeológicos son mejores que las gavillas generales es la posibilidad de considerar extensiones infinitesimales de Fermat:

1. Giordano P. " Reales de Fermat: infinitesimales nilpotentes y espacios de dimensión infinita" . Libro en preparación, véase http://arxiv.org/abs/0907.1872 , julio de 2009.

2. Giordano P. "The ring of Fermat reals", Advances in Mathematics 225 (2010), pp. 2050-2075. https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.04.010

3. Giordano P. "Infinitesimales sin lógica", Russian Journal of Mathematical Physics, 17(2), pp.159-191, 2010 https://doi.org/10.1134/S1061920810020032

4. Giordano P., Kunzinger M. "Topological and algebraic structures on the ring of Fermat reals". Enviado a Israel Journal of Mathematics en abril de 2011. Véase http://arxiv.org/abs/1104.1492

5. Giordano P. "El método de Fermat-Reyes en el anillo de los reales de Fermat". Aparecerá en Advances in Mathematics, 2011. https://doi.org/10.1016/j.aim.2011.06.008

6. Giordano P. "Infinite dimensional spaces and cartesian closedness". Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry, 2011. http://mi.mathnet.ru/eng/jmag/v7/i3/p225

Esta es una nueva teoría, y publico esta respuesta también porque creo que no se conoce. La base de la teoría es una extensión sorprendentemente sencilla del campo real que contiene infinitesimales nilpotentes. Partimos de la clase de los polinomios poco potentes, es decir, de las funciones $x:\mathbb{R}_{\ge 0}\rightarrow \mathbb{R}$ que puede escribirse como $x(t)=r+\sum_{i=1}^{k}\alpha_{i}\cdot t^{a_{i}}+o(t)$ como $t\to 0^+$ donde todos los coeficientes y potencias son reales. A continuación, introducimos la relación de equivalencia entre los polinomios little-oh $x\sim y$ si $x(t)=y(t)+o(t) \text{ as }t \to 0^{+}$ . El anillo de los reales de Fermat $ {}^\bullet\mathbb{R}$ es el conjunto cociente correspondiente. La teoría de los reales de Fermat se ha desarrollado intentando siempre obtener una buena dialéctica entre la matemática formal y la interpretación intuitiva. Aunque hay varias teorías de infinitesimales, sólo un par de ellas tienen siempre esta interpretación intuitiva, y esto contradice la idea de que los infinitesimales (rigurosos) son un fuerte apoyo para adivinar algunas verdades matemáticas. Por supuesto, los reales de Fermat se inspiran fuertemente en el análisis infinitesimal suave, aunque, al final, se trate de una teoría radicalmente diferente. En efecto, en el correspondiente anillo de escalares, que amplía los reales clásicos, tenemos infinitesimales nilpotentes de todos los órdenes, fórmulas infinitesimales de Taylor (análogas al axioma de Kock-Lawvere), potencias, raíces de infinitesimales (¡nilpotentes!), logaritmos, una relación de orden total, y el anillo es también geométricamente representable, de modo que podemos finalmente afirmar que los infinitesimales ya no son fantasmas de cantidades desaparecidas.

También es muy interesante observar que su definición matemática sólo utiliza el análisis elemental y la notación little-oh de Landau, sin requerir una formación en lógica matemática. En particular, el modelo es tan sencillo que puede estudiarse directamente en lógica clásica sin necesidad de pasar a la lógica intuicionista. Por otra parte, esta extensión del campo real es generalizable tanto a los colectores de dimensión finita como a los de dimensión infinita (más generalmente a los espacios difeológicos). La extensión ${}^\bullet(-): \mathcal{C}^\infty \rightarrow {}^\bullet\mathcal{C}^\infty$ (aquí $\mathcal{C}^\infty$ es la categoría de los espacios difeológicos y $ {}^\bullet\mathcal{C}^\infty$ es la categoría de los espacios de Fermat, que se definen de forma similar a los espacios difeológicos) es functorial y tiene muy buenas propiedades de preservación: un teorema de transferencia completo para oraciones intuitivamente válidas es, de hecho, demostrable (¡la "verdadera" lógica de los espacios lisos es siempre intuicionista!). Ya se han desarrollado varias aplicaciones a la geometría diferencial: por ejemplo, los vectores tangentes a cualquier espacio difeológico $X \in \mathcal{C}^\infty$ pueden definirse, de forma similar a la SDG, como funciones suaves de la forma $t:D\rightarrow {}^\bullet X$ , donde $ D :=\{h\in {}^\bullet\mathbb{R}|h^2=0\}$ es el ideal de infinitesimales de primer orden y donde ${}^\bullet X\in {}^\bullet\mathcal{C}^\infty$ es el espacio de Fermat obtenido extendiendo $X$ con nuevos puntos infinitesimales cerrados. En la actualidad, estamos desarrollando varias nociones de geometría diferencial en este marco e intentamos ampliar la teoría para incluir infinitos y funciones generalizadas (distribuciones).

Answer 5

Lo que se puede hacer con un espacio difeológico y que no se puede hacer con una gavilla es definirlo mediante una frase que empiece así: "Es un conjunto equipado con ..."

Podrías objetar que sólo estoy repitiendo la definición. Pero realmente no creo que haya mucho más que decir.