Una desigualdad de probabilidad sobre el segundo momento unitario

Question

Dejemos que $X$ sea una r.v. con $E[X^2]=1$ y $E[|X|]\geq a>0$ , demuestre que \begin{equation*} P[|X|\geq\lambda a]\geq(1-\lambda)^2a^2 \end{equation*} se mantiene para $0\leq\lambda\leq 1$ . He intentado utilizar la desigualdad de Markov con respecto a \begin{equation} P[|X|\leq\lambda a]\leq P[||X|-a|\geq(1-\lambda) a] \end{equation} pero, lamentablemente, fracasó. Entonces, ¿qué puedo hacer?

Answer 1

Escribe $E|X| = E[|X| \mathbf{1} \{|X| < \lambda a\}] + E[|X| \mathbf{1} \{|X| \geq \lambda a\}]$

Inmediatamente, $E[|X| \mathbf{1} \{|X| < \lambda a\}] \leq \lambda a$ y de la desigualdad de Cauchy-Schwartz $E[|X| \mathbf{1} \{|X| \geq \lambda a\}] \leq \sqrt{E[X^2]} \cdot \sqrt{E[\mathbf{1} \{|X| \geq \lambda a\}^2]} = 1 \cdot P(|X| \geq \lambda a)$ se deduce que

$$a \leq E|X| \leq \lambda a + \sqrt{P(|X| \geq \lambda a)}$$

y el resultado es el siguiente.