Sumas superiores e inferiores - Spivak

Question

Estoy utilizando la 2ª edición del libro página 218 de Cálculo de Michael Spivak en el capítulo de la Integral de Riemann.

$$\sup \{ L(f,P) \} \leq \inf \{ U(f,P) \} $$

Está claro que ambos números están entre

$$L(f,P') \leq \sup \{ L(f,P) \} \leq U(f,P')$$

$$L(f,P') \leq \inf \{ U(f,P)\} \leq U(f,P'),$$

para todas las particiones $P'$

Realmente no entiendo por qué $L(f,P') \leq \inf \{ U(f,P)\} \leq U(f,P'),$ es cierto. ¿Cómo justifica el hecho de que $U(f,P) \leq U(f,P')$ ? No declaró $P' \subset P$ afirma que esta desigualdad es cierta para cualquier partición $P$ y $P'$ . En la página anterior utiliza $P_1, P_2,P$ por lo que no entiendo donde $P'$ de repente viene de

Answer 1

¿Entiendes por qué $L(f,P') \leq \sup \{ L(f,P) \} \leq U(f,P')$ ¿es cierto?
¿Es el mismo razonamiento para $L(f,P') \leq \inf \{ U(f,P)\} \leq U(f,P')$ .
La primera desigualdad $L(f,P') \leq \inf \{ U(f,P)\}$ es cierto porque $L(f,P') \leq U(f,P)$ para todas las particiones $P$ ( Si $Q$ es el refinamiento común de $P$ y $P'$ entonces $L(f,P') \leq L(f,Q)\leq U(f,Q)\leq U(f,P)$ ).
Para la otra desigualdad, observe que el mínimo se toma sobre todas las particiones de su intervalo (denotémoslo como $[a,b]$ ) por lo tanto $\inf \{ U(f,P)\}=\inf \{ U(f,P):P \text{ partition of }[a,b]\}$ y este es menor o igual a $U(f,P')$ desde $P'$ es una partición de $[a,b]$ .

Answer 2

Para cualquier partición $P$ tienes $L(f,P) \le U(f,P)$ . Si $Q$ es un refinamiento de $P$ entonces usted tiene $L(f,P) \le L(f,Q) \le U(f,Q) \le U(f,P)$ .

De ello se deduce que si $P_1,P_2$ son dos particiones, que $L(f,P_1) \le U(f,P_2)$ . Esto se debe a que siempre se puede encontrar un $Q$ que es un refinamiento de ambos $P_1,P_2$ .

De ello se derivan todas las desigualdades anteriores.

Por ejemplo, ya que $L(f,P_1) \le U(f,P_2)$ entonces $L(f,P_1) \le \sup_P L(f,P) \le U(f,P_2)$ .