Independencia lineal de los vectores propios generalizados

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial complejo de dimensión finita. Sea $T\in \mathcal L(V)$ sea un endomorfismo.

Un vector $v\in V \setminus\{0\}$ se llama vector propio generalizado a un valor propio $\lambda\in\mathbb C$ de $T$ si existe $k> 0$ tal que $$ (\lambda I - T)^kv=0. $$ De la descomposición generalizada del espacio propio se deduce que los vectores propios generalizados a diferentes valores propios son linealmente independientes.

Mi pregunta es: ¿Existe una prueba elemental para este resultado? Tal vez en la línea de la prueba de la independencia lineal de los vectores propios (ordinarios): Sea $v_1,v_2$ sean vectores propios a valores propios $\lambda_1\ne \lambda_2$ . Entonces $$ a_1 v_1 + a_2v_2=0 $$ implica (1: aplicar $T$ , 2: multiplicar la ecuación por $\lambda_2$ , restar) $$ a_1 (\lambda_1-\lambda_2)v_1=0 $$ por lo que $a_1=0$ y $a_2=0$ .

Answer 1

Dejemos que $n>0$ , dejemos que $v_1\dots v_n$ sean vectores propios generalizados no nulos a valores propios distintos $\lambda_1\dots \lambda_n$ . Entonces los vectores $v_1\dots v_n$ son linealmente independientes.

Primero demuestro este lema:

Lema: Si $\lambda_1\ne\lambda_2$ entonces $\ker (\lambda_1 I - A)^{k_1}\cap \ker(\lambda_2 I - A)^{k_2}=\{0\}$ para todos $k_1\ge1$ y $k_2\ge1$ .

Prueba: Dejemos que $k_1\ge 1$ , $k_2=1$ , $v\in \ker (\lambda_1 I - A)^{k_1}\cap\ker (\lambda_2 I - A)$ . Entonces $Av = \lambda_2v$ , $(\lambda_1 I - A)^{k_1}v = (\lambda_1 - \lambda_2)^{k_1}v$ , lo que implica $v=0$ .

Dejemos que $k_1>1$ , $k_2>1$ . Sea $v\in \ker (\lambda_1 I - A)^{k_1}\cap \ker(\lambda_2 I - A)^{k_2}$ . Entonces $(\lambda_2 I - A)^{k_2-1}v\in \ker (\lambda_1 I - A)^{k_1}\cap \ker (\lambda_2 I - A)$ lo que implica por las consideraciones anteriores $(\lambda_2 I - A)^{k_2-1}v=0$ Por lo tanto $v\in \ker (\lambda_1 I - A)^{k_1}\cap \ker(\lambda_2 I - A)^{k_2-1}$ . Por inducción se deduce que $v=0$ . [Fin de la prueba]

Prueba de la afirmación anterior: Por inducción respecto a $n$ . La afirmación es obviamente cierta para $n=1$ .

Supongamos que la afirmación es válida para algunos $n\ge1$ . Dejemos ahora $n+1$ vectores, etc., como en el caso anterior. Sea $k_1\dots k_{n+1}$ sean números positivos tales que $$ (\lambda_i I - A)^{k_i}v_i=0 \quad i=1\dots n+1. $$ Dejemos que $a_1\dots a_{n+1}$ sean escalares tales que $$ \sum_{i=1}^{n} a_i v_i =0. $$ Aplicando $(\lambda_{n+1}I-A)^{k_{n+1}}$ a esta ecuación da como resultado $$ \sum_{i=1}^{n} a_i (\lambda_{n+1}I-A)^{k_{n+1}}v_i =0. $$ Por el lema anterior se deduce que $(\lambda_{n+1}I-A)^{k_{n+1}}v_i \ne0$ . Desde $(\lambda_{n+1}I-A)^{k_{n+1}}v_i \in \ker(\lambda_iI-A)^{k_i}$ se deduce por inducción que los vectores $(\lambda_{n+1}I-A)^{k_{n+1}}v_1\dots (\lambda_{n+1}I-A)^{k_{n+1}}v_n$ son linealmente independientes. Por lo tanto, $a_1=\dots a_n=0$ . Esto también implica $a_{n+1}=0$ . Por lo tanto, la afirmación está probada. [Fin de la prueba]