¿Por qué la teoría K de Milnor no es ad hoc?

Question

Cuando Milnor introdujo en "Algebraic K-Theory and Quadratic Forms" los grupos K de Milnor dijo que su definición está motivada por la presentación de Matsumoto de la algebraica $K_2(k)$ para un campo $k$ pero al final es puramente ad hoc para $n \geq 3$ . Mis preguntas son:

1. ¿Qué podría probar exactamente Milnor con estos $K$ -¿Grupos? ¿Cuál fue su motivación, salvo el teorema de Matsumoto?
2. ¿Por qué esta definición ad hoc ha cobrado tanta importancia? ¿Por qué es tan natural?

Answer 1

Otra aplicación de los grupos K de Milnor:

1. Los siguientes son equivalentes:

$\{a_1, \ldots, a_n\} = 0 \in K^M_n(K)/2$

$\langle\kern-0.2em\langle{a_1, \ldots, a_n}\rangle\kern-0.2em\rangle$ (forma Pfister) es totalmente hiperbólica

$\langle\kern-0.2em\langle{a_1, \ldots, a_n}\rangle\kern-0.2em\rangle$ es isotrópico

$a_n$ está representado por $\langle\kern-0.2em\langle{a_1, \ldots, a_{n-1}\rangle\kern-0.2em}\rangle$

1. teoría de campo de clase local superior: La formación de clases de un $n$ -El campo local de una dimensión es $K^M_n(K)$ . http://www.emis.de/journals/GT/ftp/main/m3/