Cuando Milnor introdujo en "Algebraic K-Theory and Quadratic Forms" los grupos K de Milnor dijo que su definición está motivada por la presentación de Matsumoto de la algebraica $K_2(k)$ para un campo $k$ pero al final es puramente ad hoc para $n \geq 3$ . Mis preguntas son:
La teoría K de Milnor da una forma de calcular la cohomología étale de los campos (es decir, la cohomología de Galois): si E es un campo de característica diferente a un primo l, existe un mapa de residuos desde el enésimo grupo K de Milnor de E mod l al enésimo grupo de cohomología étale de E con coeficientes en la gavilla de raíces l de la unidad a la n (es decir, tensado consigo mismo n veces). Existe la conjetura de Bloch-Kato, que predice que estos mapas de residuos son biyectos. Resulta que el caso l=2 fue conjeturado por Milnor (hasta una reformulación, supongo). La conjetura de Milnor ha sido demostrada por Voevodsky (y fue el primer gran logro de la teoría de homotopía de esquemas, que inició con Morel durante los años 90), y obtuvo su medalla Fields en 2002 por ello. Ahora Rost y Voevodsky afirman que tienen una prueba de la conjetura completa de Bloch-Kato para cualquier primo l (que debería aparecer algún día, gracias al trabajo de bastantes personas, entre las que Charles Weibel no es el menor). Obsérvese también que la conjetura de Bloch-Kato tiene sentido para l=p=char(E), pero entonces hay que sustituir la cohomología de étale por la cohomología de Rham-Witt (y esto también ha sido demostrado por Bloch y Kato). Suslin y Voevodsky también demostraron que la conjetura de Bloch-Kato implica la conjetura de Beilinson-Lichtenbaum, que predice la relación precisa entre la cohomología motivacional de torsión de las variedades con la cohomología étale de torsión.
La teoría K de Milnor está relacionada con la cohomología motivacional (es decir, los grupos superiores de Chow) en grado n y peso n H^n(X,Z(n)): para X=Spec(E), H^n(X,Z(n)) es el grupo K de Milnor n. Así es como entra en escena la teoría de la homotopía de los esquemas (una de las principales características introducidas por Voevodsky para estudiar la cohomología motivacional con coeficientes finitos es la teoría de las operaciones motivacionales de Steenrod). Por otra parte, Rost estudió la teoría K de Milnor por sí misma: entre otras muchas cosas, demostró que, si se considera como un functor de la categoría de campos, con todas sus estructuras extra (mapas de residuos que interactúan bien), se pueden reconstruir grupos de Chow superiores de esquemas (sobre un campo), a través de algún complejo de Gersten.
La teoría K de Milnor es también un ingrediente crucial en la teoría de campo de clase superior de Kato.
También, sobre las motivaciones de Milnor, es bastante natural tratar de entender el anillo de Witt de un campo, clasificando formas cuadráticas sobre este campo (en char no 2). Este anillo tiene una filtración natural por el ideal fundamental, y es natural tratar de entender el anillo graduado asociado, que es más simple que el anillo de Witt. Una aproximación es entenderlo por generadores y relaciones. Las relaciones que definen la teoría K de Milnor son elementales y se satisfacen obviamente en el anillo graduado de Witt, y hay muy pocas. La conjetura de Milnor (ahora un teorema) dice que la teoría K de Milnor mod 2 es isomorfa a ese anillo de Witt graduado. Es equivalente a la formulación con cohomología étale, pero probablemente, una parte importante de la motivación original de Milnor era sobre las formas cuadráticas, como se puede ver en su artículo original.
Es bastante sorprendente que, a posteriori, esta simple teoría K aparezca como un objeto tan fundamental en la teoría de las intersecciones. Hay un bonito (y seminal) artículo de Totaro que explica en términos bastante elementales y geométricos el caso más sencillo de la conexión entre la teoría K de Milnor y los grupos superiores de Chow, mencionado por Denis-Charles Cisinski.
La teoría K de Milnor es la parte más simple de la teoría K algebraica, K-theory 6, 177-189, 1992
Para ayudar a responder la pregunta 1, Milnor demostró un teorema local-global para anillos de Witt de campos globales. Recordemos que el anillo de Grothendieck-Witt $\widehat{W}(k)$ de un campo $k$ es el anillo que se obtiene partiendo del grupo abeliano libre sobre las clases de isomorfismo de los módulos cuadráticos y modulando por el ideal generado por símbolos de la forma $[M]+[N]-[M']-[N']$ , siempre que $[M]\oplus[N]\simeq [M']+[N']$ . La multiplicación proviene del producto tensorial de módulos cuadráticos. Hay un módulo cuadrático especial $H$ dado por $x^2-y^2=0$ . Este es el módulo hiperbólico. El anillo de Witt $W(k)$ de un campo $k$ es el cociente de $\widehat{W}(k)$ por el ideal generado por $[H]$ .
Ahora, el teorema principal del trabajo de Milnor es que existe una secuencia exacta dividida $$0\rightarrow W(k)\rightarrow W(k(t))\rightarrow \bigoplus_\pi W(\overline{k(t)}_\pi)\rightarrow 0,$$ donde $\pi$ recorre todos los polinomios mónicos irreducibles en $k[t]$ y $\overline{k(t)}_\pi$ denota el campo de residuos de la terminación de $k(t)$ en $\pi$ .
Los morfismos $W(k(t))\rightarrow W(\overline{k(t)}_\pi)$ vienen de primero el mapa $W(k(t))\rightarrow W(k(t)_\pi)$ . Entonces, hay un mapa $W(k(t)_\pi)\rightarrow W(\overline{k(t)}_\pi)$ que envía el módulo cuadrático $u\pi x^2=0$ a $ux^2=0$ , donde $u$ es cualquier unidad del campo local.
Curiosamente, Milnor $K$ -La teoría no se utiliza en la prueba. Sin embargo, la prueba para los anillos de Witt se asemeja mucho a la prueba de un hecho similar para Milnor $K$ -teoría: la secuencia $$0\rightarrow K_n^M(k)\rightarrow K_n^M(k(t))\rightarrow\bigoplus_\pi K_{n-1}^M(\overline{k(t)}_\pi)\rightarrow 0.$$
La nueva e importante perspectiva es la perspectiva simbólica formal, que ya existía para los $K$ -grupos, pero es muy fructífero para estudiar también el anillo de Witt.
Para ver algunos lugares donde $K_2$ aparece, consulta arXiv:math/0311099v4 . La versión publicada se puede encontrar aquí .
Como ya ha mencionado Denis-Charles Cisinski, Rost ha demostrado (véase "Grupos de Chow con coeficientes") que alguna versión de grupos de Chow superiores puede construirse a través de grupos de Milnor K.
De hecho, Gillet en su estudio "K Theory and Intersection Theory" (que se puede buscar en Google, creo que originalmente en el K-Theory Handbook) explica en la página 24 y, sobre todo, en la página 25 (centro) cómo se puede incluso motivar las relaciones definitorias de Milnor K (es decir, la relación de Steinberg) mediante ideas de intersección-teórica. Si esta explicación te parece natural o no, es tu libre elección, pero hay cierta belleza en ella.
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