Tomemos el proceso estocástico procedente de
$$\ddot X + \frac{\eta}{m} \dot X + \frac{k}{m}X = \frac{1}{m} W(t)\tag{1}$$
(donde $W$ es ruido blanco) o, de forma equivalente, la ecuación diferencial de Itô
$$ d \begin{pmatrix} X\\V\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} V\\ -\dfrac{\eta}{m} V - \dfrac{k}{m}X\\\end{pmatrix}dt + \begin{pmatrix} 0&0\\0&\frac1m\end{pmatrix}\begin{pmatrix} d\beta_1 \\d\beta_2\end{pmatrix}\tag{2} $$
$$ \equiv d \mathbf{X} = f(\mathbf{X})dt + \mathbf{L}\, d\boldsymbol{\beta} \tag{3}.$$
Esto es sólo el oscilador armónico amortiguado conducido por el ruido blanco. En particular, $\beta_1,\beta_2$ son de movimiento browniano. Sé por la literatura que la distribución estacionaria es de la forma
$$p(x,v) = \exp( - Ax^2 - Bv^2 )$$ (ver edición).
Intento: Creo que necesito usar la ecuación de Fokker-Planck:
$$\frac{\partial p(\mathbf{X},t)}{\partial t} = 0= - \sum_{i}\frac{\partial}{\partial X_i}[\mathbf{f}_i(\mathbf{X})p(\mathbf{X},t)]+ \sum_{i,j} \frac{\partial^2}{\partial X_i X_j}\left[(\mathbf{L}^T\mathbf{L})_{ij} \,p(\mathbf{X},t)\right]\tag{4}$$ donde el $0$ es porque consideramos la distribución estacionaria. Esto, sin embargo, me da (escribiendo $p(\mathbf{X},t) = p(x,v)$ )
$$0=-\left[ \frac{\partial}{\partial x}(vp(x,v)) + \frac{\partial}{\partial v}\left(\left( -\frac{\eta}{m}v - \frac{k}{m}x\right) p(x,v)\right) \right]+ \frac12 \frac{\partial^2}{\partial v^2} \frac{p(x,v)}{m^2}\tag{5}$$
que ciertamente no se resuelve con una gaussiana $p(x,v)$ .
Editar: Un error me impidió resolver (5) con un ansatz gaussiano y enchufar y tirar. Gracias estocástico para aclarar esto.
