Sobre la diagonalización simultánea aproximada

Question

Es bien sabido que dos $n\times n$ matrices simétricas semidefinidas positivas $A$ , $B$ tal que $AB=0$ son simultáneamente diagonalizables.

Mi pregunta está relacionada con la existencia de una diagonalización simultánea específica en el siguiente sentido: Sea $\{A_k\}$ , $\{B_k\}$ sean dos secuencias de matrices simétricas que convergen a matrices semidefinidas positivas $A$ y $B$ respectivamente, de manera que $AB=0$ . ¿Es cierto que existe una base $\{v_i^k\}$ de vectores propios de $A_k$ y una base $\{w_i^k\}$ de vectores propios de $B_k$ para todo k, tal que cada $v_i^k$ y $w_i^k$ convergen a algún $c_i$ tal que $\{c_1,\dots, c_n\}$ forman una base simultánea de vectores propios para $A$ y $B$ ?

Answer 1

La respuesta es no en general.

Para un $2\times 2$ -contraejemplo, dejemos que $A = 0$ , dejemos que $B$ sea la matriz diagonal con entradas diagonales $1$ y $0$ (es decir $B$ es la proyección sobre la primera componente), elija $B_k = B$ para cada $k \in \mathbb{N}$ y $$ A_k = \frac{1}{k} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$ para cada $k \in \mathbb{N}$ . Entonces, cada secuencia $(v_k) \subseteq \mathbb{R}^2$ de vectores propios de $A_k$ sólo puede converger a un múltiplo escalar de $(1,1)$ o a un múltiplo escalar de $(1,-1)$ .

Sin embargo, sólo los (múltiplos escalares de) los vectores unitarios canónicos $(1,0)$ y $(0,1)$ diagonalizar simultáneamente $A$ y $B$ .